CHAPITRE VII

1° .c" — 3j:^— gjr’ — igx* -+- lyx^ — SSx’ lyx —9 = 0,

2S0. Lors(iu’cn appliquant la rndlhodc précédente on obtient une équation D = O d’un degré supérieur au second, comme cette équation [leul elle-même être soumise à la méthode, on parvient souvent ainsi à opérer la décomposition de D = o en scs facteurs; et l'on connaît par ce moyen les dinérenles espèces de racines égales de l'é(]uation X = o, ainsi que le nombre des racines de chaque espèce. Quant aux racines simples de X = o, on commence par dégager cette équation des facteurs égaux qu’elle renferme; et l’équation résultante, étant résolue, fait connaître ces racines simples.

Les racines égales de X = o ne peuvent pas toujours être découvertes immédiatement : c’est ce qui arrive, par exemple, lorsque D n'a que des racines simples cl surpasse le second degré, auquel cas chacune des racines entre deux fois dans la proposée; et l’on no peut les obtenir qu'en résolvant l’équation D = o d’après des méthodes que nous exposerons ultérieurement.

281. Mais, pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous allons faire voir que, quelle que soit l'équation proposée, si elle a des racines égale s,o« peut toujours faire dépendre sa résolution de celle d’une suite d’équations dont la première n’admet que les racines simples de la proposée, une seconde les racines doubles (c'est-à-dire les racines qui y entrent deux fois), une troisième les racines triples, etc.

En oITct, soit X = o l’équation proposi'e, et désignons par X' le produit des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines sim- [iles; par X" le produit des facteurs du premier degré correspondant aux racines doubles; par X", X‘’,. . . le produit des facteurs correspondant aux racines triples, quadruples,. . .; en sorte que l'on ait

il résulte de ce qui a été dit (277) que le plus grand commun diviseur entre X et son polynôme dérivé V est de la forme

puisque les facteurs égaux de la proposée doivent entrer dans D à une puissance dont l’exposant est moindre d’une unité que dans la proposée.

Cela posé, opérons sur D comme nous avons opéré sur X, et désignons

TUËORIE DES RACINES ËGALE5. SSg

par D' le plus grand commun diviseur qui existe entre D et son polynôme dérivé. On a

On trouverait do même, en opérant sur D' comme on a opéré sur D et X,

rV- X”X”..., et enfin D'’=X'....

(Nous supposerons, pour fixer les idées, que 5 soit le plus grand nombre de fois qu’une même racine entre dans l'équation proposée, c’est-à-dire que l'équation D'”= o n’ait que des racines simples.)

Actuellement, si l’on divise successivement X par D, D par D', D' par D’, D’ par D", et qu’on désigne respectivement par Q, Q', Q", Q" les quotients obtenus, on pourra former le tableau suivant :

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