VI

D'où l’on voit que, par le moyen de trois systèmes d'opérations, savoir : une série d’opérations du plus grand commun diviseur et deux séries de divisions, on parvient à isoler successivement les facteurs X', X", X", X” et X', qui, égalés séparément è zéro, donnent, le premier, les racines simples, le second les racines doubles, etc.

Il est à remarquer d’ailleurs que le degré de X' = o exprime le nombre des racines simples de la proposée; le degré de X'= o le nombre des racines doubles; celui de X"=r o le nombre des racines triples, etc.; et la résolution complète de ces équations fait connaître les dilfércnles espèces do racines simples, doubles, quadruples, etc.

Ain.<i la métliode des racines égales n'est pas, en général, une méthode de résolution complète, mais bien une mélhotle tl’nbaisscmrnl. Ce n’est que dans le cas où les équations X'= o, X*= o, X”= o,. . . ne sont quo du premier ou du second degré qu’on peut obtenir immédiatement toutes les racines de l'équation proposée.

282. On peut appliquer la théorie des racines égales à la recherche des relations qui doivent exister entre les coefficients d’un polynôme

CBAPITEK TII.

3go

en r du deuxième, du troisième, etc., degré, pour que ce polynôme soit un carré, un cube, etc., parfait. 11 suffit, pour cela, de former le polynôme dérivé du polynôme proposé, puis d'exprimer (277) la condition nécessaire pour que ce polynôme dérivé soit diviseur relatif du polynôme profiosé.

Soit, par exemple, le trinôme du second degré hx -i- c, dont le

pjlynôme dérivé est lax -t- b :

a«x’-+- aô.r -f- ir | %ax-^l

bx -h 7.C \ X -i- 0

labx 4 oc 4«r— ô*.

En appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur avec scs modifications (239), on trouve pour reste ^ac — b', et si l'un suppose

4oc — ô’=o, ou ô’— 4«c = o,

-f- b sera le plus grand commun diviseur entre nx’-i- -h c et son dérivé, qui n’est autre chose que lax ■+- b lui-méme. Ainsi, sous la condition ô'— 4oc = O, on peut regarder ax'-+- bx-^-c comme le carré de artx -H ô, à un facteur quelconque près, indépendant do x.

On a vu, en effet (112), que b’— 4nc == o est la condition nécessaire et suffisante pour qu’un trinôme du second degré soit un carré parfait.

Soit encore le polynôme

dont le dérivé est

ôjr’-t- ex ■+■ d, ibx -+■ c;

en cherchant leur plus grand commun diviseur, on trouve pour reste

(Goc — %b')x ç)ad — bc.

Or, si l'on écrit que ce reste est nul, on établit la condition que 3na’-t- ibx-1-c est commun diviseur entre le polynôme et son dérivé; mais ce reste doit être nul, quelle que soit la valeur de x. Ainsi (180) on a séparément

6ac — 2Ô’=o, ^ad — bc — O.

En effet, la première de ces deux conditions donne

c =r — 1 et la seconde, rf = — = : :

ia ija uyir'

AUTRES APPLICATIONS DD PLDS GRAND COMMUN DIVISEUR. 3yl

d’où, substituant dans le polynôme proposé,

ôx’-f- ex d

41 itf*

Môme raisonnement pour les polynômes du quatrième, du cinquième, etc., degré.

N. B. — Les deux relations One — o, <^ad — bc ■= o entraînent nécessairement la condition que le dé-rivé ibx -t- c soit un cnrré

linrfaU; car si les deux facteurs du premier degré en x, dont il se compose, pouvaient être inégaux, comme, d’après la théorie des racines égales, ces facteurs devraient se trouver à la deuxième puissance dans le polynôme proposé, il faudrait alors que celui-ci ftU au moins du quatrième degré, tandis qu’il n’est que du troisième.

Et, en effet, la condition pour que 3rtx’-t- ibx -r- c soit un carré parfait est, comme on l'a vu tout à l’heure,

(ai)'— 4 -3<Jc = O, ou ô’— 3«r=ro; et cette relation rentre dans la première des deux relations ci-dessus.

jiutres appliciilions de la thénrie du /dus granit rommun diviseur,

283. Le procédé du plus grand commun diviseur sert encore, dans d'autres cas, à abaisser le degré d’une équation : tel est celui où l'on donne d’avance une certaine relation entre deux des racines de l’équation proposée.

Soit, pour fixer les idées, l’équation générale

(i) x" -I- Px""' 1- . . .O- Tx -i U = O,

et supposons qu’entre deux des racines a et ô on ait la relation ô = Xfl -+- /< (X et A étant des nombres connus et donnés « /triuri).

Puisque l'équation (i) doit être satisfaite par les deux quantités a et kn ■*- A, il s’ensuit que, si l’on met dans cette équation X x -f- A à la place de x, ce qui donne la nouvelle équation

( a ) ( Ax -(- A j" P( X x -h A)“"‘ -t- . . . t- T(X x -h A ) -r- 0 = o,

les équations (i) et (a) doivent être satisfaites par une même valeur a\ donc (237) il doit exister un commun diviseur relatif entre les deux premiers membres.

Ainsi, en appliquant ù ces deux polynômes le procédé du plus grand co.nmun diviseur relatif, et égalant à zéro le diviseur obtenu, on en ti-

Sga CHAPITRE TII.

rera la valeur de la racine a. Cette valeur, substituée dans la relation b — ka -f- //, fera connaître la valeur correspondante de b.

Si ce commun diviseur est du premier degré en jr, on peut en conclure que deux racines seulement de l’équation ont entre elles la relation donnée. Si ce diviseur est du second degré, c’est qu’il existe deux couples do racines qui jouissent do cette propriété; et leur détermination ne présente encore aucune difficulté. Après quoi, l’on pourra diviser le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines obtenues.

En général, soit D le commun diviseur auquel on est parvenu. La résolution de l’équation proposée ne dépend plus que de la résolution de l’équation qu’on obtient en divisant le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de D = O et à celles qu’on a déduites de la relation h-ka~\-h.

Soit, par exemple, l’équation

dont nous supposerons que deux des racines a et A sont liées par la relation b — ia

En mettant ax 1 pour x dans la proposée, et développant les calculs, on obtient, toute réduction faite,

8x‘ — 3ax* ■+■ 36x* — yx — 2 = 0.

Appliquant aux premiers membres de cette équation et de la proposée le procédé du plus grand commun diviseur, on parvient au diviseur relatif X — 2 ; ce qui donne

X — 2 O ; d’où X 2 ou a ~ 2.

Cette valeur de «r, substituée dans la relation 2«-4- 1, donne ensuite b — 5.

Le premier membre de la proposée est donc divisible par (x— -2)(x—5) ou x’— 7x-i-io; et, en effectuant cette division, on a pour quotient

X*— 5.ch-3 = o, d’où x = -±-v^i3.

L’équation proposée se trouve ainsi complètement résolue.

DES ÉgUATIONS RtCIPBOQGES.

Des Éoi’ATioss bécipboqüks.

28t. Parmi les équations susceptibles d'abaissement, on distingue particulièrement les équations dites réciproi/iies ; ce sont celles qui restent

les mêmes lorsqu'on y change x en

Ainsi, par exemple, toute équation de la forme

-h H- ÿx’ 4- px -i- I = O,

c’est-à-dire telle que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes soient égaux entre eux, est une équation réciproque; car si

l’on y remplace x par -i) elle devient

d'où, en multipliant par x” et renversant l’ordre des termes,

x”-- pif"~' -I- fyx"*’ 4-. . .4- ^x*4- px 4-1 = 0,

équation identique avec la proposée.

La dénomination de réciproques, donnée à ces équations, vient de ce

que, si l’on suppose que a est racine, ^ l’est nécessairement a^ssi.

285. Afin de pouvoir assigner la forme générale dos équations réciproques, nous considérerons successivement le cas où l’équation est de degré impair, et celui où elle est de degré pair.

Premier cas. — Soit une équation quelconque do degré impair

(l) x’""^' 4- px™ -4- qx^~' -f- -h sx’-i- tX + U =z O.

Pour que cette équation soit réciproque, il faut, d’après la définition, qu’elle reste la même lorsqu'on y remplace x par Effectuons cette substitution ; il vient

Mi-I

d'où, multipliant par x*^', divisant par u et renversant l’ordre des termes,

XS«-H

CniPITRil TU.

Or, pour quo les équations (i) et (a) soient identiques entre elles, il faut et il suffit que les coefficients des mêmes puissances de J soient égaux, c’esi -à-dire quo l'on ait les relations

On déduit do la dernière

«’ = I , d’où n = ± I ;

et si l’on prend d’abord la valeur « 1 , il en résulte

Prenant ensuite la valeur h = — i , on trouve

d’où l’on voit qu’u/Jc cqiuition de degré impair est réciproque quand les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, ou bien égaux et de signes contraires. Elle ne peut d’ailleurs être réciproque que dans l’un ou l'autre de ces deux cas.

Second cas. — Soit une équation quelconque de degré pair

(3) -I- rj-"-)- -t-jx’-, tx-tu — o.

(Dans ce cas, comme le nombre total des termes est a«-+-t, le terme rx" est à égale distance des deux extrêmes.)

Remplaçons x par dans cette équation ; il vient

d’où, multipliant par x’", divisant par u et renversant l’ordre des termes.

Or, pour que les équations (3) et (4 ) soient identiques entre elles, il faut et il suffit que l’on ait les relations

La dernière revient à

n’=i, d’où «5=±i.

DES ÉQUATIONS BtClPBOQUES. 3()5

Ola posé, pour la première valeur « i , on trouve

t = Pi = r-r,..., <j = s, />-(,

et, pour la seconde « = — i,

égalités dont celle du milieu, r — r, ne peut exister, à moins qu’on no

suppose r = O.

Donc tnute étpmtion de degré pair est réciproque toutes les fois : i° que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe; 2° que, le terme du mileti manquant dans l'équation, tes coefficients des termes a égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires. L'une OU l'autre de ces deux conditions est d'ailleurs nécessaire.

286. Passons actuellement à la résolution de ces sortes d'équations, et supposons d'abord qu’il s’agisse d'une équation de degré fMir, telle que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes soient égaux et de même signe.

Nous prendrons, pour fixer les idées, une équation du huitième degré ; mais on reconnaîtra aisément que la même méthode s’appliquerait à toute autre équation satisfaisant à l’hypothèse établie.

Soit donc l’équation

(i) X*-*- px^ -s- qxê-i- rx^-h saé -h rx^-i- qx's- px -,-1 = 0,

et jrosons, dans l'équation (1),

(a) x-!--=zz.

On est conduit à cette transformation par la remarque suivante. Puisque les racines sont réciproques deux à deux, il s'ensuit que l'on

connaît les produits y c x ■ des racines réciproques

(chacun de ces produits est égal à i); il suffirait donc (114), pour obtenir

les deux racines « et -1 ou è et 7, • • • > de connaître les sommes a -1- - , a h a

i • " ) ou, ce qui revient au même, les valeurs de la fonction j.'

Cela posé, si l'on divise l'équation (1) par x*, et qu’on rassemble les termes affectés des mêmes coefficients, il vient

3g6 CBAPiTiiE VII.

la difficulté est ainsi réduite à exprimer en fonction de z les quantités

Or on a, en général,

équation d'où l'on déduit, en y remplaçant ^ psr

formule qui donne l’expression i”"*' -f- au moyen des deux expressions semblables de degrés immédiatement inférieurs, m et m — i .

Soit fait successivement

on trouve

et ainsi de suite à rinRni.

En un mot, ces expressions forment (183), è partir do P pi une

série récurrente du second ordre, dont l’cchelle de relation est (z, — i). Il ne s’agit plus maintenant que de substituer dans l'équation (3), à la

place do .r’ H- P , P-+-p, x'-t-pi les valeurs qu’on vient d'obtenir;

ce qui donne, pour l'équation résultante,

ou, réduisant et ordonnant par rapport à z,

z‘-4-rz*-f-(i7 — 4) z’ -*-(/» — Zr)z — nrj + 1 = O,

équation d'un degré sous-double de celui de la proposée.

DES ÉQUATIONS BÉCIPROQUES. 897

Donc la résolution de toute équation de degré pair telle, que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, peut être ramenée à la résolution d*une équation de degré sousdouble.