I -f px -h qx^ 4- qx^~' 4- px^'* H x'""'’' par 1 H- X

les coefficients des termes de môme rang dans les deux quotients sont nécessairement égaux (il suffit d'ailleurs d’effectuer les deux divisions pour s’en convaincre); mais le second quotient n’est autre chose que le premier obtenu dans un ordre inverse : donc il faut nécessairement que les derniers coefficients du premier quotient soient deux à deux égaux aux premiers.

Il résulte de là qu’après avoir divisé le premier membre de la proposée |)ar X -h I on obtiendra une équation réciproque de degré pair, de même forme que celle du numéro précédent, et qu’on résoudra de la môme manière.

288. Il nous reste encore à considérer les équations, de degré pair ou impair, dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux et de signes contraires.

Soit l’équation

pjf*~' — . . . — qx^ — px — 1 = 0.

[Il n’y a point ici de terme du milieu, parce que, si m est impair, le

CHAPITBB VU.

nombre total des termes, /n 1 , est pair, et si ni est pair, le terme du du milieu doit manquer (285, a" cas) pour que l’équation soit réciproque.]

Cela posé, il est encore visible que l'équalion proposée est satisfaite par J- = -T- 1; donc le premier membre est divisible par jr — i.

Or, si l’on divise

\° jc" -i- pjc"’' ~ qsf'~' qj- — px — \ (wr — I,

2“ — 1 — px — qx"' — q x”^’’ -T- P xf"~' -h jf' par — > —

ou, ce qui revient au même (en changeant les signes),

\ -y- px qx' qjf-' — px^' — Jé" par i — j,

on devra obtenir, pour les termes de môme rang dans les deux quotients, des coefficients absolument identiques (ce qu’on peut d’ailleurs aisément vérifier en elTecluant la division).

Donc le premier quotient est nécessairement un polynôme dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe; ainsi ce polynôme rentre dans l’un des deux cas précédemment examinés.

N. B. — Dans l'hypothèse qui nous occupe actuellement, si l'on suppose que /» soit pair, comme, en divisant le premier membre de la projwsée par x — i , on obtient un quotient de degré impair dont les coeflicients sont égaux et de même signe, ce quotient est lui-mômo divisible par X -1- 1 (287). Ainsi le premier membre de la proposée est divisible par (j — 1) (x -1- 1) ou x' — i, et le quotient est un polynôme de degré pair qui rentre dans la classe de ceux déjà traités (286).