Z'— 2H-3-HI

ou, réduisant

donc

D’ailleurs l’équation x’ — zx h- i = o donne

donc, en substituant à la place de z ses deux valeurs, on a, toute réduc

4oO CHAPITRE Vil.

lion faite,

.r = -^iiv/5 = iv^lorti/5 y/”?.

L’é(|uation x'" — i = o peut encore être résolue complètement par le même moyen.

En effet, on a

On connaît déjà les racines de l’équation x* — i = o ; quant à celles de l’équation x‘-i- i = o, comme, par l’écliange do x en — x, elle devient x^H- 1 = O, on voit que tout se réduit à prendre avec des signes contraires les racines de cette dernière équation.

§ IV. — Théorie des fo.vctios symétriques.

Pour compléter l’enseiiible des matériaux nécessaires à la résolution des équations d’un degré quelconque, il nous reste à exposer une des théories les plus curieuses et les plus importantes de l’Analyse : c’est la théorie des fonctions symétrie/ues. L'illustre Lagrange en a fait la base d'une méthode pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré.

(Les candidats à l’Ëcolo Polytechnique peuvent, sans inconvénient, passer ce paragraphe, que nous n’avons placé ici que pour nous conformer à la marche précédemment tracée.)

291. On appelle fonction symétrique des racines d'une équation toute expression algébrique qui renferme ces racines combinées de la meme manière, soit entre elles, soit avec d'autres quantités. Ainsi la somme n -t- é -h c / -t- / des racines d'une équation, la somme

ab -t- ne -r- ad -h. ..-h il do leurs produits deux à deux , la somme abc 4- abd -H . . . de leurs produits trois à trois, . . . sont dites des fonctions S) métriques des racines.

Le caractère distinctif d’une fonction symétrique de diverses quantités est qu’c /fc conserve la même valeur numérique, quelque permutation que l'on fasse subir h ees quantités.

Nous avons déjà vu (242) que, P, Q, R,..., T, ü étant les coefficients d'une équation, on a, entre les racines et les coefficients, les relations

a-t-é-+-c-i-... = — P, a6-r-ac-i-arf-l-...= Q, abcd, . . = ± ü ;

nous allons yoir maintenant que toute fonction symétrique rationnelle de

SOXUATION SES PUISSANCES SBVBLABLES DES RACINES, ETC. 4°' ces memes racines peut être exprimée également au moyen des coefEcients de l'é(iuation.

292. Sommes des puissances senibhihlcs des racines tFune équation. — Les plus simples des fonctions symétriques, celles au moyen desquelles on peut, comme nous le verrons, former toutes les autres, sont les sommes des puissances semblables des racines, telles que

fl H- i -J- c -I- -I . . . , fl’ H- i’ c’ -t- f/’ ,

et, en général,

fl" -i- é" -T- c" -T- f/" ,

n étant un nombre entier quelconque.

Or je dis que, sans connaître les racines, il est possible d’exprimer les sommes de leurs puissances semblables au moyen des coefficients P, Q, R, . . . , qui sont des quantités connues.

Soit, en eiïet,

Qj.-™ =-t- Tx-t- U = O

l'équation proposée; et désignons ses racines par a, b, e, d,. . .. Si l’on divise successivement le premier membre par chacun des ni facteurs du premier degré, x — a, x — b, x — e, on obtiendra (238), pour les différents quotients,

x” ’ H- fl’

x""'-f-. . .H- fl"*'

-f- Pfl

-l-Pa’

-t- Pz/" “’

-I- Qa” ’

R fl"-*

jTi-3 ^3 ,

t-Pé

h-Pi!.=

-t-Pi""’

-t- Qi

H- Qi" *

ainsi de suite.

pour chacun des facteurs

Maintenant, si l'on fait la somme de ces ni quotients, et que l’on pose, Jlg.B. 36

pour plug de gimplicilA,

CDAPITKS TU.

on oblienl évidemment pour cette somme

jc^- ' -i- . . . -f- S„,