APPLICATIONS

des racines c, r/,. . . ; on a les égalités

(f'-. . . . -f- Trr -T ü — O,

Multipliant toutes ces égalités respectivement par c",..., et

ajoutant les produits terme à terme, on obtient, d’après les notations convenues,

PS«+«-, - QS„+, -f- . . . 4- TS,^, -H ÜS„ = O.

Cela posé, voici l’usage de cette formule :

Soit

« = O ; d’où = S, = rt, -f- H- c, 4 . . . i= /w ; elle devient

S«. TS. -+■- = o;

cette dernière formule se lie immédiatement avec la dernière des formules obtenues ci-dessus.

Soit fait ensuite /^ = i, a, 3, 4, 5,. . . ; on trouve

Sm+I PSm TS, -4- ÜS, = O,

PSm+i-^ -H TS, - h ÜS, = O,

S;,m.3 -i- QS^^,-+- . . .-f- TS^ -i- us, = ü.

Il est facile de reconnaître, d’après l’inspection de ces formules, que, les sommes des m premières puissances étant formées , les suivantes forment (184) une série récurrente dont l’échelle de relation est l’ensemble des m coefficients P, Q, R,. . . , T, U de la proposée, pris en signes contraires.

La formule -i- PS,^^^, -f- . . . = o peut donner également les sommes des puissances à indices entiers et négatifs. En effet, soit d’abord « ~ — I ; il en résulte

S„, -^ . . . -h TSj -+- Ü5, O,

équation d’où l’on peut tirer la valeur de S, en fonction de S^,, . ., S,, S„ qui sont censés connus.

Soient encore « = — 2, n ~ ~ 3,...; on obtiendra de nouvelles formules qui donneront S, en fonction do S,„„ S,„„. . . , S,, S,; puis S, en fonction de S,, S,; et ainsi de suite.