S,-PS,-QS,- TS

Ces valeurs peuvent être aisément vérifiées; car l’équation a été formée par la multiplication des facteurs x — i, x -f i, x — 2, x -1- 3 : ce qui donne -4- 1 , — i, h- 2 et — 3 pour les quatre racines.

Considérons maintenant d’autres espèces de fonctions symétriques.

293. On distingue les fonctions syTnétriques rationnelles et entières des racines d’une équation, en fonctions symétriques à une lettre, à deux lettres, h trois lettres, etc.

Les fonctions symétriques à une lettre sont celles dont chaque terme ne renferme qiCune racine; telle est la fonction «" -h -f- c* , que nous savons déjà (292) exprimer au moyen des coefficients de l’équation.

Les fonctions à deux lettres sont celles dont chaque terme renferme deux racines: telle est la fonction a” b^ ■+■ d* c^ If ai^ if d^ dont il est aisé de concevoir la formation en prenant tous les arrangements deux à deux des m racines, et en affectant les deux lettres de chaque

tVAU'ATION P05CTI0^ STMfTRIQCE QUELCONQUE. ^o5

produit dps exposants respectifs n et d’où il suit que le nombre total des termes de cotte fonction est (M6) ^gal'à m(m — t).

Les fonctions à Imis lettres sont cW/rt dont chaque terme renferme trois racines : telle est la fonction e/‘L’’(^ efc'ri^-¥- Ifai’c^ -t- . . . , que l'un obtient en formant tous les arrangements trois et trois des m racines, et affectant les trois lettres de chaque produit des exposants respectifs n, />, q. Ainsi le nombre total des termes est marqué par m[m — i) (/« — a) ; et ainsi de suite.

Comme, un terme quelconque d’une fonction symétrique à plusieurs lettres étant écrit, on peut obtenir tous les autres, en substituant à l'arrangement des lettres qui entrent dans ce terme les autres arrangements dont les m lettres sont susceptibles, et en conservant aux exposants le même ordre, on est convenu, pour abréger, de représenter les fonctions à une, deux, trois,... lettres, de cette manière ; Tn”, Ta’è'c’,...;

c’esl-à-<lire que l’on place en avant de l’un des termes de la fonction la lettre T ; et ces nutations équivalent à

a"-,- ef'b'-t-a"cf-s-..., «"iCc* a" é'rf» -+-... .

Les fonctions dont nous venons de parler sont dites \ca fonctions symétriques élémentaires.

On peut concevoir ensuite que tous les termes d’une même fonction soient affectés de coefficients; mais, pour que la fonction soit symétrique, il faut que tous ces coefficients soient égaux, et alors on peut mettre ce coefficient en facteur commun.

C’est ainsi que l’expression ^h^a'-t-.. ., supposée sy-

métrique en a, h, c,.. peut se mettre sous la forme

4(o’i’-i- n’c’ -I- é’n’-t- . . .), ou 4T«’é’.

Enfin, un polynôme symétrique en a, b, e,. .. peut être composé de la réunion par addition ou par soustraction , [de plusieurs /ô«r//'orts triques élémentaires ; et son évaluation se réduit alors à celle de chacune des fonctions élémentaires qui la composent. Passons donc à la détermination de celles-ci.

Ecaluation des fonctions symétriques à deux, trois, lettres.

29i. On a déjà donné (292) des formules pour évaluer les fonctions telles que To", qui n’est autre chose que S,. Cherchons à évaluer la fonction à deux lettres Tidb'. Pour cela, multiplions entre elles les deux expressions

ô" -T- f" t- f/« -i- . . . = Trt", n'-t- é'-t- c' -I- rl'-i-...= Trt'.

Le second membre est

CnAPITBB VII.

• Tü* X T</'.

Quant au premier membre, il peut arriver deux cas dans la multiplication : ou les deux termes du multiplicande et du multiplicateur ont la raôm lettre; et, dans ce c.is, le produit partiel est un des termes de la fonction ou lien ces doux termes ont des lettres ditîdrontes, au-

quel cas le produit partiel est un terme de la fonction Tr/’i'’. Comme, d’ailleurs, le produit total doit être symétrique, puisque les deux facteurs le sont, il s’ensuit que le pn micr membre a pour expression

’ïi/'b'.

Ainsi l’on a l’équation

Ttf" '’ 'xTo'’;

d’où l’on déduit

(i) Tn'é'’-. T«"xTo'’—

T//”, Tn', étant connus, d’après les formules du n* 202, la formule (i) pourra servir à déterminer toutes les fonctions à deux lettres.

Cas particuliers. — Si, dans cette formule, on suppose n — p, circonstance qui arrive assez souvent, le second membre se réduit à (T^l’)’— Tld’. Pour savoir ce que devient le premier (qui, en apparence, se réduit à Ta"i"), il faut observer que l’on a

Tit'b’’= erb’’-h cdc''^d’d'‘^...-h Idtd ^ . . .-i- c’a’' -

Or, dans l'hypothèse do n = p, tous les termes de ce polynôme deviennent égaux (leux h deux, savoir, idb’ et Ida', ede' et c’a'. . .: donc Tidb' se réduit réellement à •xTidld, c’est-à-dire au double de la fonction exprimée par Ttdld, et dont le nombre des termes n'est plus (203) le nombre des arrangements, mais le nombre des combinaisons deux à deux.

Donc, en supposant n =zp dans la formule (i), on trouvo

Tidb’^

Tâchons maintenant d’évaluer la fonction Tcdb'c'.

Pour y parvenir, multiplions entre elles les équations

idb' -c- idi' -i- (dd'-s- . . .-i- b’a'-h . . . c’a'-c- . . . = Tid b',

rd a- Id -T- id -1- d ' -i- . . . — T d' .

On a d’abord Ttdb' -xTid pour le produit des seconds membres.

ÉVILUATIOR d’usb fonction snitTRIQCB QUELCONQUE. 4°7

Quant aux premiers membres, ou doit obtenir trois espèces de fonctions symétriques pour le produit total; car

Ou bien la lettre du terme multiplicateur est semblable à la lettre du terme multiplicande, alTcctéo do l'exposant n : auquel cas le produit partiel est un des termes do la fonction

Ou bien la lettre du terme multiplicateur est semblable à la lettre du terme multiplicande, affectée de l’exposant p : et, dans ce cas, le produit partiel appartient à la fonction 1

Ou bien, enfin, elle est différente des deux lettres qui entrent dans le terme multiplicande : et alors le produit partiel est un des termes de la fonction Tn’è'c*.

Donc le produit total des deux premiers membres a pour expression Ta'+’é^-i- Tn"è'+’-T- Ta"i''c’.

Ainsi l’on a pour nouvelle équation

TiP*ihf + T H Tr/"i'’c«= Tri»;

d’où l’on déduit

(3) T«"é'’c» = Tfi'6'’x Tr/' — Tn"+»i'’—

Cas particuliers. — i° Supposons deux des trois exposants égaux, y) = ly par exemple; le premier membre se réduit à %Td'b‘‘c<’, puisque tous les termes de la fonction générale Td'b‘’tfl sont alors égaux deux ù deux, et la formule (3) devient

Tri'é'c'’

To"i'' X Tr/’’— ’iy+'é'’— Td-b'" ■1

Cette nouvelle formule servira pour toutes les fonctions à irais lettres dont deux exposants sont égaux.

■x° Supposons les trois exposants égaux, c'est-à-dire /j = = 7; le pre-

mier membre do la formule (3) se réduit à 6Ta'6"e", parce que tous les termes ( 1-tfi ) deviennent égaux six à six.

Ainsi cette formule devient

Ta’i'*

To"é" X Tn" —

On parviendrait à ce même résultat, d’après la formule (4), en observant que n = P donne

Trt’4'f'>= 3Trt"4"c*,

parce que tous les termes de T«"4'’c'' deviennent égaux trois à trois.

CnAPITRK VII.

Pour peu qu’on r^llôchisse sur la marche qui vient d’être suivie pour évaluer Ta’i'e*, il est aisé de voir ce qu’il faudrait faire pour

l'évaluation des fonctions à quatre lettres, à cim[ lettres, etc.

295. Dimme nous avons remarqué (293) que toute fonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation n’est que le résultat de la réunion, par addition ou soustraction, des fonctions Tri", Trr'i'',

. . , nous somme.s en droit de conclure ce théorème, qui est un des plus beaux et des plus importants do l’Analyse al^;éhriquo : Toute fonction symétrique, rntionuclle et entière des racines il' une. équation peut, sans que l’on connaisse scs racines, éttv évaluée au moyen des coefficients de l'équation.

X. B. — Il en est do même d’une fonction symétrique rationnelle et fractionnaire; car, si l’on conçoit que tous les termes soient réduits au môme dénominateur, on aura une seule expres,sion fractionnaire dont le numérateur devra, d’après le caractère distinctif d’une fonction symétrique (291 ), être, ainsi que le dénominateur, une fonction symétrique rationnelle et entière. Donc, en évaluant chacune de ces fonctions séparément, on obtiendra la valeur de la fonction proiwsée.

Applications de la théorie des fonctions symétriques.

296. La théorie dos fonctions symétriques donne les moyens de résoudre celte question, que nous avons déjà traitée (272) par le secours de l'élimination :

Une équation dont on ne connaît pas les racines étant donnée, former une nomclle équation qui ait pour racine une combinaison déterminée de deux, trois, quelconques des racines de la proposée.

Pour fixer les idées, supposons d’abord que l’on demande

Une équation dont les racines soient la somme de deux quelconques des racines de l'équation X = o.

Soient a, b, c, d,... les racines de celle équation ; celles de la nouvelle équation, que nous appellerons Z = o, seront

a -h b, a -h c, as- d, b s- c,...,

et leur nombre sera exprimé par le nombre de sommes ou de combinaisons dilférenlcs, deux à deux, que l’on peut faire avec les m lettres a, b,

r, a,..., cest-à-dire (11/) par ; •

Ainsi, représente déjà le degré de l’équation..

Quant à la composition de scs cocflTicients, comme (212) le coefficient

APPLICATIONS DE LA THfiOBIE DES FONCTIONS SYMETRIQUES. 4°9

du second terme est égal à la somme des racines prises en signes contraires, il a pour valeur

expression dans larpie'le a, 6, c,. . . entrent toutes de la même manière; ainsi cotte fonction sym'trif|ue rationnelle et entière peut s’exprimer au moyen des coefllcients P, Q, R,. . . de la proposée.

On a de même, pour le cœfTicicnt du troisième terme, la somme des produits, doux à deux, des mêmes quantités, ou bien

expression qui est encore symétrique en a, é, r , . . . , et peut, par conséquent, s’évaluer au moyen des coefficients P, 0. Même conclusion

par rapport aux coefficients du quatrième, cinquième,... terme, et, en général, par rapport au coefficient de rang (a -f- 1), puisqu’il u’e^l autre chose, au signe près, que la somme des protluils n à n des (piantités a — h, a -i- c, . . . , somme qui est nécessairement une fonction symétrique de a, b, c,.... Toute la difficulté consiste à mettre en évidence ces diverses fonctions symétriques, et à les évaluer d'après les formules établies précédemment.

Au reste, nous verrons bientôt un moyen plus simple d’évaluer les coefficients do l’équation cherchée.

On peut également former une équation dont les racines soient des combinaisons de la forme

a -e ô -f- X aô, a -f- c -i- X ac, a h- rf -t- X ml, . . . ,

X étant un nombre connu et déterminé.

Le degré de cette nouvelle é<]uation, que l’on peut encore désigner

par Z = O, est toujours marqué par m ; et ces coefficients étant,

au signe près, les sommes des produits, une à une, deux à deux, trois à trois, . . . des quantités a ■*- b -s- kab, a c -k- kac,. . sont nécessairement des fonctions symétriques rationnelles et entières de la proposée.

297. Proposons-nous, pour seconde application, de former Viquation aux différences des racines d’une équation donnée, question qui a déjà été traitée par l’élimination.

Nous avons fait connaître (275) la forme et le degré de cette équation. Soit a; le degré de la proposée; celui de l'équation aux différences tssi exprimé par m(m — i). De plus elle est de degré pair et ne renferme que des puissances de degré pair; de sorte que, si l’on pose, dans cette

4to

équation,

CDAPITRE Tir.

l'équation prend la forme

et les racines de celle nouvelle équation sont les carrés des différences des racines do la proposée.

Les coefficients P', Q',. T', U' sont les mêmes que ceux de l’équation aux différences; mais elle est de degré sous-dmible, et, par cela même, plus simple à considérer.

Cela posé, si a, b, c, d,. .. sont les racines de la proposée, on a, pour celles de l'équation (i),

donc, d’après la composition connue des équations, les coefficients P', 0'. R',... sont, au signe près pour quelques-uns, les sommes des produits I à I, 2 à a, 3 à 3,. .. des quantités

{a — b)\ [a — cf, (é-c)*,...,

c’est-i-dire que l’on a

Or toutes ces expressions sont des fonctions symétriques que l’on peut évaluer au moyen des coefficients P, Q, R,. . . de la proposée.

Toutefois, si l'on ctfecluait ces développements, les diverses fonctions

que l’on obtiendrait seraient des fonctions à une, deux, trois , et,

en général, à p lettres (si l’on considère le coefficient de rang /j -t- 1); et CCS coefficients s’évalueraient avec beaucoup de peine dans la pratique.

Mais il existe un moyen plus simple de calculer P', Q', R',

Les formules S, t- P = o. S, -r- PS, -h aQ = o,. . ., obtenues au n”292, font connaître S,, S„ S,,. . ., on fonction de P, Q, R,. . ..

Rériproquement, connaissant à priori les sommes S,, S„ S,. . . des racines d’une équation, on pourrait calculer les coefficients P, Q, R,... d'après les mêmes formules, car elles donnent

-nli

PS, - os,