APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES
Donc , si nous pouvions évaluer les sommes des puissances semblables des carrés des différences [a — by, {a — c)%. . . , nous obtiendrions facilement les valeurs de P', Q', P',
Or, en appelant S',, Sj, Sj,. . . les sommes dos puissances semblables des racines de l’équation (3), on a
S', î= (rtr — by-+- [a — . = (/;/ — i)T«* — 'iTab,
- by-h{a - c)’-h.. .= (/;/ -i)Tré~ ^T(éb --
Explication de ce tableau. — il est évident d’abord que les développements de S',, S',, S',,. . . ne peuvent se composer que de fonctions symétriques à une ou à deux lettres au plus. Quant à la manière de les obtenir, on observera que, dans chacun d’eux, a’, ou ou doit être répété autant de fois que l’on peut former de différences entre la racine a et toutes les autres dont le nombre est — i ; donc les fonctions Trt’, T«<, Trt'*, .. . ont toutes (/« — i) pour coefficient.
Les coefficients des autres fonctions sont d’ailleurs ceux des développements des puissances [a — ^)*, [a — b)\ depuis le coeffi-^
dent du second terme inclusivement jusqiéà celui du terme tjui tient le milieu, aussi inclusivement. Enfin, les diverses parties sont alternativement positives et négatives, comme dans les développements de [a — by^ ^ a — b"^ , • ...
Le nombre des sommes S', S',, qu’il est nécessaire d’évaluer
est égal au nombre des coefficients P', Q', R',. . . de l’équation (3); par
conséquent la dernière somme est SÎ,.
Cela posé, voici la marche qu’il faut suivre dans la pratique pour évaluer ces sommes :
On commence par calculer les sommes S,, S,, S,,... jusqtéà S,„ ou racines de' la proposée (i); puis, à Vaide des j or mule s du ré 29i, on évalue toutes les fonctions Tab^ T«*^, Ta*/»*,..., d’où l’on
conclut les valeurs de S', , Sj, Sj,. . Sn, et, par suite, celles de P', Q', S',..., r, U'.
298. Soit proposé do former l’équation aux carrés des différences des racines de l’équation x^ — 7 j: 7 = o.
Cette équation étant du troisième degré, on a
4<2 CHAriTAE TII.
Ainsi l'équation cherchée est de la forme
lVj»^Q'j+R=0;
c’est-à-dire qu'il y a trois coefficients à déterminer, et, par conséquent, trois sommes, S',, S',, S',, à calculer. Cela |»sé, on a
d’où l’on déduit, tout calcul fait.
S, = O, S, =14, S, = — ai.
Sj = 98, Sj = — 245, S„ ^ 833,
Tn> = S, =i4, T«i = Q = — • 7, T<7* = S, = — 98, Tir’é = — S, =98,
:^-S,S, - S, = - 833, To'i’— S, S, — S, = 539,
"Donc
S', — aTrt’ — aTfiA = 4a,
S’, = aT«‘- 4Tn>i - - 6Tn>i’= 88a,
S', -- aT//— CTa'i liTa'i’— aoTa’é’= 18GG9.
Ainsi, à cause des formules
S’,i-P'=o, S',-eP’S',-^-2Q'=o, S',->-P'S',-!-Q’S',-i- 3R'=o,
on a
Donc, enfin, l’on obtient
pour l’équation aux carrés des différences des racines do l’équation x' — 71-1-7=0.
Nous engageons les commençants à traiter ce même exemple par l’élimination, afin de comparer les deux méthodes.
299. Ce moyen de déterminer les coefficients do l’équation aux carrés des différences peut être également employé pour déterminer les coeffi-
APPLICATIONS DE LA THËOHIE DES FONCTIONS STMÊTRIQCES. 4' 3 cients do l Ajualion aux sommes des racines prises deux à deux, a -h b, a c, b -h c,. . . {^voir n° :Ï9G).
Soit
Pjr'i-Qx-t-R = o
l’équation proposée ; l’équation aux sommes a b, a -h e, b — c serait de la forme
2>-hP'z> ,-Q’;4-R'=o;
et, en appelant S',, S',, S', les sommes des puissances semblables des racines de cette seconde équation, on aurait, pour déterminer S',, S',, S',, les formules
S'|={a-l-é) ■4-(n-t-c) -i-(6-l-c) = 2(a-s-6-t-e)=2Ta,
. S', = (rt 4- by-s-(a ~h cy-h{b -H c)’ = iT«' -r- iTab,
S'j = (fl -F -I- c)’T-(é -t- c)’= iTrt’-t- 3Ta’b.
Après avoir calculé les sommes S,, S„ Sj de la propsée, on en déduirait les valeurs de Tn’, Tab, Tu’, Tn’6, ce qui ferait connaître S',, S',, S'j; et l’on obtiendrait enûn P’, Q', R', d’apres les formules
On opérerait d’une manière analogue pour former une équation dont les racines fussent des combinaisons de celles de la propsée, do la forme « -t- i -i- bab, a + c -h kac,,. . ; on aurait, pour une équation du nf'"" degré,
S'i = (u -r- i -i- kab) -t- (u -+- c kae'\ — [m — j)Ta -s- kTab,
S', = (« + é Xoi = (m — I )Tu’ + iTué -t- 2/ Tu’é -r- X’Tu’é’, S'j = (a -t-é 4- Xaé)'-i-. = (/n — i)T«’-+- 3Tn’é-+-3X(To’é-i- aTn’i’) -s- 3k'là‘li‘-^ X-’Tu’é’,
Nous proposerons les exercices suivants :
Déterminer :
i" L’équation aux carrés des différences des racines de l’équation x’ — 6x — 7 = o.
Résultat : î’ — 36z’-+- 324z -h- 45g = o.
Cet exemple a déjà été traité (274) par la méthode d’élimination.
4 >4 CHAPITBB VII.
a” L’equation aujc sommes deux à deux des racines de l’équation
Résultat ; a’— 3s — a = o.
3" L’équation dont les racines soient des combinaisons de ta forme a + b ab des racines de l’équation
Résultat : r’-t- ios’-t-i7S — i8 = o.
4' J 'équation d mt les racines soient les sommes deux à deux des racines de l'équation
X* — Sx’ — 5x’-i- 4ix -h 4o = O.
Résultat : s‘ — i8s‘-i- 98 s* — 96 s’— 74;s’-4- a3aaz — ig44 = o-
300. Nous terminerons les applications de la théorie des fonctions symétriques [lar la démonstration d'un très-beau théorème sur l’élimination.
Ce théorème, dû à hezoul, consiste en ce que le degré de /'équation Gnale qui résulte de l’élimination de l’une des inconnues, entre lieux équations d’un degré quelconque à deux inconnues, ne peut être plus grand que le produit des degrés des deux équations ; et il est justement égal a ce proiluit lursijue les équations proposées sont les plus générales de leurs degrés.
Avant d’en développer la démonstration, il est indispensable de faire connailre la forme d’une équation complète du m“”“ degré à deux inconnues.
Nous avons déjà reconnu (116) que toute équation du second degré peut être ramenée à la forme
Mx"-: Nx -e P = O,
M étant une quantité toute connue, N un polynôme du premier degré en 7', et P un polynôme du second degré.
En général , une équation à deux inconnues est dite du degré lorsque, le plus haut exposant de chaque inconnue étant m, la somme des exposants de ces deux inconnues dans un même terme ne surpasse pas m (*). Il résulte évidemment do là que toute équation du degré m
(“) On suppose ici que tes dénominateurs, s'il y en a, ne renferment pas les inconnues x et 7 ; autrement il faudrait d’abord chasser les dénominateurs. (P'oir la remarque du n” 92.)
Diiv'. :!byCi)Ogh
APPLICATION A l’CLDIINATION.
peut être ramenée à la forme
Ax"-r^ Tx-i- ü = o,
A étant line quantité connue, numérique ou algébrique,
B un polynôme du i" degré en y, tel que
bx-^ b',
C un polynôme du a* degré en j t quo
cj ’— r'.r-t- c,
D un polynôme du 3' degré en/, tel que
T un polynôme du (m — i)""' degré en /, tel que r/”-'
U un polynôme du degré en/, tel que
(quelques-uns dos coefficients b, b', c, c',. . . peuvent être nuis dans les cas particuliers).
301 . Cela posé, considérons les deux équations à deux inconnues
Ax"-i- Bx""' -t-Cx"~’-!- . . . -i- Tx -f- U = O,
que nous désignerons, pour abréger, jiar
Concevons, en outre, que la première équation soit résolue complètement par rapport à x (quoique nous n’ayons pas encore les moyens d'effectuer cette 0|>ération), et qu’elle donne les m valeurs x = o, x = ô, X = r,. . . (n, b, c,.. . étant alors des fonctions de/).
Chacune de ces ni valeurs de .r, substituée dans l’équation M = o, doit la vérifier, quelque valeur que l’on attribue à / après cette substitution.
D'un autre côté, si l’on porte ces ni valeurs successivement dans le premier membre de l’équation N = o, on obtient les expressions
qui sont, on général, des fonctions irrationnelles do/. Or jo dis que
