Conclusion ^nirale

NOTES DE M. E. PROUHET.

Note I. — WoUons sur les nombres incommcn»nrahlcs 6oq

Note 11. — Sur l*cquation du second dogré Gio

Note III. — Déycloppement de (/i V— î )"* 6ia

Note IV. — Sur la base dc.s lo{;arithmes népériens 613

Note V. - Des fonctions dérivées Oii

Note VI. — Des diflemicos ^87

Note VII. — Application de la théorie des dilférences à la résolulion

numérique des équations 0j6

Note VIII. — Sur la méthode de Newton dôi

Note IX. Sommation des piles de boulets .. Oôj

ALGEBRE.

INTRODUCTION

1 . L’Algèbre est la partie des Mathématiques où l’on emploie des signes propres à abréger et à généraliser les raisonnements que comporte la résolution des questions relatives aux nombres.

On distingue deux espèces principales de questions :

Le théorème, qui a pour but de démontrer l’existence de certaines propriétés dont jouissent des nombres connus et donnés ; et le problème, dont l'objet est de déterminer certains nombres d’après la connaissance d’autres nombres qui ont avec les premiers des relations indiquées par l’énoncé.

2. Les éléments principaux dont on fait usage en Algèbre, pour parvenir à ce double but, sont :

1° Les lettres de l’alphabet, qui servent à désigner les nombres sur lesquels on doit raisonner. Leur usage est nécessaire, soit pour abréger les raisonnements, soit pour les généraliser, en ce que l’on sent mieux, par l’emploi de ces lettres, que telle ou telle propriété appartient à plusieurs nombres à la fois; ou bien, s’il s’agit d’un problème, que la manière de satisfaire à son énoncé est indépendante do toute valeur particulière attribuée aux nombres compris dans cet énoncé.

Le signe -f-, dont on se sert pour marquer l'addition de deux ou plusieurs nombres, et qui s’énonce plus.

Ainsi, iS ■+■ 36 s'énonce i5 plus 36, ou a5 augmenté <le 36. De même, a-t-b s’énonce a plus ù, ou le nombre désigné par a, augmenté du nombre désigné par b.

3° Le signe — , qui s’énonce moins, et dont on fait usage pour marquer la soustraction de deux nombres l’un de l’autre.

Ainsi, 45 — >4 s’énonce 45 moins a4i ou 45 diminué de a4i ou bien encore, l’excès de 45 sur a4-

a — h s’énonce a moins b, ou a diminué de b.

4° Le signe de la multiplication, qui est x, ou un point que l’on place entre les deux quantités.

INTRODUCTION

Ainsi, 36X25, ou 36.25, s’énonce 36 multiplié par 25, ou le produit de 36 par 25.

Lorsque les nombres dont on veut indiquer la multiplication sont désignes par des lettres, on convient encore de les écrire les uns à la suite des autres sans interposition de signe.

Ainsi ab signifie la môme chose que axb o\x a,b\ abc signifie la môme chose que axbxc ou a.b.c.

Il est bien entendu que la notation ab ou abc^ qui est plus simple que celle axb o\x axbxc, ne peut ôtre employée que lorsque les nombres sont désignés par des lettres ; car, si l’on voulait, par exemple, représenter le produit de 5 par 6, et qu’on écrivît, pour abréger, 56, on confondrait cette notation avec le nombre cinquantc-six écrit dans le système décimal. Cette remarque est importante pour les commençants.

5" Le signe de la division, qui consiste en deux points : que l’on place entre le dividende et le diviseur, ou bien encore, en une barre — , au-dessus et au-dessous de laquelle on place respectivement le dividende et le diviseur.

Ainsi, 24 : G, ou

s’énonce 24 divisé par 6, ou le quotient de 24

par 6.

b s’énonce a divisé par b. On dit encore a sur b.

La notation ^ est la plus usitée.

6" Le coefficient y signe que l’on emploie pour indiquer l'addition de plusieurs nombres égaux. Ainsi, au lieu d’écrire a a -k- a a a (\m\ représente l’addition de 5 nombres égaux à /?, on écrit Sa. De môme, lia exprime l’addition de ii nombres égaux à a; 12 ab, l'addition de 12 nombres égaux au produit do a par h.

Le coefficient est donc un nombre particulier écrit h la gauche d*un autre nombre exprimé par une ou plusieurs lettres, et qui marque combien de fois on doit prendre la lettre ou le produit que représentent les \

lettres.

7° Vexposanty signe dont on se sert lorsqu’un nombre désigné par une lettre doit entrer plusieurs fois comme facteur dans un produit. Ainsi, au lieu d’écrire axax axaxa a. a. a. a. a, on écrit plus

simplement a^ que l’on prononce a cinq; ou plutôt a cinquième puissance.

On appelle puissance le résultat de la multiplication de plusieurs nombres égaux, et degré de la puissance la quotité des nombres égaux multipliés entre eux.

V exposant est le signe de ce degré. Il s'écrit à la droite et un peu

IKTRODDCTION. 3

au-Hcsstis d’une lettre, et il marque combien de fois la quantité exprimée par cette lettre doit entrer comme facteur dans un produit.

Pour faire sentir toute l’importance de l’exposant et du coefficient en Algèbre, supposons qu’on veuille exprimer un produit composé de 4 facteurs égaux à a, de 3 facteurs égaux à b, et de a facteurs égaux à c; on écrira a'b’c’, au lieu de aaaabbbcc.

Veut-on ensuite exprimer que ce dernier résultat doit être pris 7 fois, ou doit être multiplié par 7 : on écrira qa'b’c'. Ceci donne une idée du laconisme de la langue algébrique.

8° Le signe dont on fait précéder un nombre, lorsqu'on veut indi- <juer que l’on a à extraire de ce nombre une racine d’un certain degré. Ainsi a s’énonce racine troisième ou cubique de a ; y b s’énonce racine quatrième de b.

On appelle racine a”, 3', 4'> • • • d’un nombre, un second nombre qui, étant élevé à la a', 3”, 4'. • • • puissance, reproduit le premier nombre.

Nous ne ferons usage du signe qu’à partir du troisième Chapitre.

9° Le signe au moyen duquel on exprime que deux quantités sent égales. Ce signe est = , et s’énonce est égal à, ou égale.

Ainsi, pour exprimer brièvement que l’excès de 36 sur a5 est égal à J I , on écrit 36 — a5 = 1 1 .

C’est-à-dire 36 moins a5 est égal à 1 1 , ou égale 1 1 .

10° Le signe d’inégalité >, dont on se sert pour exprimer qu’une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre.

Ainsi, (7 > é signifie a plus grand que b ou supérieur à b \ a b signifie a moindre que b ou inférieur h b ; c’est-à-dire que l’ouverture du signe doit être tournée du côté de la plus grande quantité.

D’après l'exposé précédent, on voit que l’on peut regarder l’Algèbre comme une espèce de langue qui se compose de signes à l’aide desquels on suit avec plus de facilité l’encbatnement des idées dans les raisonnements qu’on est obligé de faire, soit pour démontrer l’existence d’une propriété, soit pour trouver la solution d’un problème.

On concevra mieux encore l’utilité des signes algébriques par les questions suivantes.

PnE.UIÈRE Ol'ESTIO.N. — PROBLÈME.

3. La somme des deux nombres est 67, leur différence est 19 : quels sont ces deux nombres?

Mode de résolution.

Tâchons d’abord d’établir, à l’aide des signes dont nous sommes con-