CHAPITRE VII

toute valeur, 6, qui rend nulle l'une de œs fonctions, est une valeur convenable (26”).

En cffcl, supposons, par exemple, que 6 rondo nulle la fonction

et désignons par x = a ce que devient x — a lorsqu’on remplace r par ? dans n; le système (x = a,^= 6) vérifie évidemment M= o, puisqu’on a déjà vu que x = « la vérifie, quel que soit

En second lieu, / = ë rendant nulle la fonction

A'fl" (-

qui n’est autre chose que le premier membre do N = o, dans lequel on a mis a à la place de x, vérifie N = o en mémo temps que x = a, valeur de a qui correspond à / = 6.

On voit donc que [x ~ a, y — S) forme un système commun aux deux équations M = o et N = o; ainsi / = 6 est une valeur cnni'enable.

Réciproquement, toute valeur conrcnablc rie y doit anéantir l'une des fonctions ci-dessus.

Car, pour être cnneennble, il faut qu'elle satisfasse aux deux étiuations en même temps qu'une certaine valeur do x; or toutes les valeurs de x convenables sont comprises dans x = <?, x = i, x = c , . . . ; et dès que l’on fait X = n ou X = 6, . . . , le premier membre do N = o retombe dans l’une des fonctions ci-dessus, qui doit, par conséquent, s’évanouir par l’hypothèse jr ~ 6.

On peut conclure do là que, si l'on égale à zéro le produit de toutes ces fonctions, /'équation qu'on obtiendra sera (sans aucun facteur étranger) l'équation finale qui doit résulter de l’élimination de x entre les deux proposées.

Cette équation finale, que nous nommerons l’équation (V), est donc

Sa formation semble reposer sur la résolution complète de l’équation M = o par rapport à x : mais nous allons voir que cette dernière 0|iéralion n’esl pas néwssaire, et nous reconnaîtrons, dans ce qui vient d’être dit, une nouvelle méthode d'élimination.

Remarquons d’abord que l’éqtiation (Y) ne change pas, quelque permutation que l’on fasse entre les racines a, b, c, f/,...; ainsi le premier membre est (291) une fonction symétrique rationnelle et entière des racines de l’équation M = o, résolue par rapport à x. Donc, en vertu du théorème établi (295), ce premier membre peut être exprimé au moyen des coefficients A, B, C,... do l'équation M = o, et il est possible do

Di-

GoogK

DEGRÉ DE l’ÉQCATION FINALE. > 4‘7

former l’équation (Y) sans que l’on soit oblijjé de résoudre d’abord l’équation M = O.

Cette méthode, qui est assez simple pour deux équations du second degré, devient très-laborieuse lorsqu’on- veut l’appliquer à des équations d’un degré plus élevé. Elle a toutefois, sur la méthode exposée (209) et sur plusieurs autres, l’avantage de conduire toujoun à la véritable équa^ tinn finale^ sans l’introduction d’aucun facteur étranger.

Mais, ici, notre principal objet est de démontrer le théorème sur le degré de Céqiuuion Jîmde.

302. Pour déterminer le degré en jde l’équation (Y), il suffit de considérer un terme de rang quelconque. Or chaque terme du produit qui compose le premier membre se forme de la multiplication d’un terme du premier facteur par un terme du second, par un terme du troisième, etc. Soient K«*, des termes pris au hasard dans chacun des

m facteurs : le terme correspondant du produit sera

D’ailleurs le produit total est symétrique en c,.. .; donc ce terme fait partie d’une des fonctions symétriques qui entrent dans la composition de (Y); et celte fonction partielle peut elle-même être représentée (293) par

KK'K"x...x

11 suffit donc de déterminer le plus haut degré en y de cette fonction.

Or, si l’on se rappelle la composition des formules qui donnent S,, S,, Sj,. .. (292), et que l’on ait égard aux degrés en y des coefficients A, B, G, . .. de l’équation M = o (300), on verra que S,, S„ S,,-.., S* sont du premier, deuxième, troisième degré, et, en général, du degré h en j. Donc S* X S/, X S^. . . est d’un degré marqué par // -i- //-f- //"-h . . . ; et, d’après les formules (294), qui donnent l’expression d’une fonction symétrique quelconque, . est aussi du degré h -+- lé /^-h..., et

na peut surpasser ce degré.

D’un autre coté, soient /•, . . les exposants de j dans les coeffi-

cients K, K', K*,...; la somme des exposants du produit KK'K"... est k -i- /•'-+- . . Ainsi, dans la fonction KK'K'’x . . . x . ., la

somme des exposants est

mais, d’après la composition de l’équation N = o, on a tout au plus

Alg, B.

4l8 HHAPITRE VII. -- DBOBÉ DE l’ÉQUATION FINALE.

Donc, pnRn, la fonction sym^tnque ci-dessus est tout au plus d’un degré marqué par n -i- n n -r . . ou m x n. c. O- F- D.

N. It. — L'èr/iitiiir>n aux iliffcrcnce» étant (273) le résultat do l'élimination de X entre les équations

X O, Y-r -« Z II'-' = O,

dont la première est du degré ni on x, et la seconde du degré m — i en x et tt, il s'ensuit que cotte équation finale doit être du degré m{r>i — i), et c’est, en elTet, ce qui a été reconnu (27.3).

Fæ théorème précédent est également applicable è un nombre m d’équations renfermant un pareil nombre d’inconnues, {f'oir, pour sa démonstration, un Mémoire de M. Poisson, XI' Cahier du Journal de l’École Potytechniriiic, p. igg. )