RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A L^E OU A PLUSIEURS LNCONNUES

Les principes que nous avons établis dans le Chapitre précédent sont applicables à toutes les équations, do quelque nature que soient leurs coefficients, numériques cm algébriques; et ces principes doivent être regardés comme les éléments des méthodes employées pour résoudre les équations do degré supérieur.

Nous avons déjà dit que les analystes ne sont parvenus jusqu'à présent qu’à la résolution dos équations générales du troisième et du quatrième degré. Les formules qu'ils ont obtenues pour les valeurs des inconnues sont si compliquées et d'un usage si peu commode, lorsque toutefois on peut les appliquer (ce qui n'est pas toujours possible), que l'on doit regarder le problème de la résolution des équations algébriques d'un degré quelconque comme plus curieux qu’utile. Aussi les analystes ont-ils dirigé principalement leurs recherches vers la résolution des êtiualions numériques, c’est-à-dire de celles dont les coelTicients sont des nombres particuliers; et ils ont trouvé des méthodes au moyen desiiuelles, une équation numérique d’un de^ré quelconque (à coefficients réels) étant donnée, on peut toujours déterminer ses racines.

C’est l’ensemble de ces méthodes que nous nous proposons de développer dans ia première Partie de ce Chapitre, du moins en ce qui concerne les racines réelles.

La seconde aura pour objet le complément de l’élimination, ou la résolution des équations numériques à plusieurs incoimues.

Première Partie : Équations numériques à une inconnue. — Pour la généralité de nos raisonnements, nous représenterons encore l’équation proposée par Px" ' -+- Qj-”~’-t-. .. = o; mais les lettres P, Q,... seront censées désigner des nombres particuliers et des quantités réelles, positives ou négatives.

§ I". — Principes fondamentaux. — Limites des racines.

303. Premier principe. — Si deux nombres p p/ y (de signes quelconques) , substitués à ta place de x tlans une équation numérique X = o,

CnAPITRB VIII.

donnent deux rcsidtnts de signes corilenires, ces deux nombres comprennent nu moins une racine réelle de la pmiiosce.

Avant de démontrer cotte proposition, nous ferons voir que, si un nombre a, mis a la place de x, dans un polpndme X, fonction entière de X (230), mais dont les coeflieionls sont numériques et réels, a donné un certain résultat A, on fuuirra, en remplaçant x par a -i- /i, et prenant h sutllsamment petit, obtenir un noueeau résultat qui diffère du premier d'une quantité moindre que toute grandeur donnée.

Soient, en etTel, A, B, C, D, ... ce que de\ icnnent les polynômes X, Y, Z V

-J • • • (20i), quand on y met n au lieu do x\ le polynôme X deviendra, par la substitution do a It,

A + BA 4- C/d -4 D/d + ... -i- h'\

ou bien

A-A(B hC/h-D/i’ + ...-)-/i"-').

La quantité A(B 4- C/i 4-...) est l’expression de la différence entre les résultats des substitutions de a 4- h et de a ; et c’est wtto différence qui doit être reconnue susceptible do devenir moindre que toute grandeur donné*», pour une valeur convenable de h.

Or, B. C, D, . . . étant des quantités finies do signes quelconques, considérons le cas le plus défavorable qui puis.se se présenter, celui où elles seraient toutes positives et égales à K, la plus grande d’entre elles. L’expression /i( B 4- CA 4- . . .) devient

KA(i4- A 4-A’4-...-4-A"-'), ou (31) —

quantité moindre que Quo l'on a A < i.

Cela posé, si l'on veut, par exemple, que la différence soit moindre qu’une quantité donnée N, il n’y a qu’à poser

— 7= ou <N, ce qui donne h — ou — -pi

et touU» valeur de A qui satisfera à cette dernière condition satisfera nécessairement à l’inégalité

KA(i 4- A 4- Ir -e . . . 4- A"-' ) < N, et, à plus forte raison, à l'inégalité

A(B-pC/i4-DA’4-.. )<N; ce qui est bien le résultat demandé.