PRINCIPES FONDAHENTAIX DE LA RÉSOLUTION, ETC
Nous pouvons actuellement démontrer le principe énoncé ci-des.sus, en convenant, pour fixer les idées, que, des deux nombres p il q, p sera le plus petit, c’est-à-dire celui qui se rapproche davantage de Xinjîni négatif. Cela posé, p et q, mis à la place de x dans l’équation X = o, donnant, par hypothèse, deux résultats de signes eontraircs, P, et Q,, on peut concevoir que l’on fasse varier x, par degrés insensibles, depuis p jusqu’à q ; les résultats des substitutions successives varieront aussi par degrés insensibles, c’est-à-dire de manière à ne différer les uns des autres que do quantités aussi petites que l'on voudra (ce qu’on exprime en disant que le polynôme X est soumis à la loi de continuité, ou varie d'une manière continue dans l’intervalle de P, à Q, ), Or une quantité qui est constamment finie (*) ne peut passer du positif au négatif, ou réciproquement, qu’en passant par la valeur zéro.
Donc, parmi les nombres compris entre p et q, il y en a nécessairement au moins un qui donne un résultat égal à zéro; et ce nombre est alors une racine de l’équation X = o.
304. Second pri.ncipe. — Do ce que deux nombres substitués à la place de x dans une équation donnent deux résultats de signes con- ’ traires, on est en droit de conclure qu’ils comprennent au moins une racine réelle; mais on ne peut pas affirmer qu’ils n’en comprennent qu’une seule, et ils peuvent en comprendre un nombre impair quelconque.
Ceci résulte d’une nouvelle proposition que nous allons démontrer, et qui consiste en ce que ;
Si deux nombres p et q comprennent un nombre impair quelconque,
%n -i- \ , de racines réelles, les résultats de leur substitution à la place de X sont de signes contraires; et s'ils en comprennent un nombre pair quelconque, “in, les résultats de leur substitution sont nécessairement de même signe.
Pour mettre cette proposition dans tout son jour, désignons par a, b, c, . . . celles des racines proposées de l’équation X = o que l’on suppose comprises entre les nombres p et q, de signes quelconques, et par f(x) le produit des facteurs du premier degré en x qui correspondent tant aux racines réelles non comprises qu’aux racines imaginaires.
Le premier membre, X, de l’équation peut se mettre sous la forme
(*) En général, une fonclion de x peut passer de l’état positif k l’état négatif, soit en passant par Vinjîni, soit en passant par la valeur zéro; mais ici les coeflicients de la proposée étant des nombres 6nis, et x n’entrant pas en dénominateur, la valeur de X ne peut pas devenir iajtnie.
CDAPITRR TIII.
Substituons maintenant, dans le produit préo^dent, et 7 à la place de X (p étant < 7) ; nous obtenons les deux résultats
(7 -rt)(7 — i)(7 -r) ><7(7);
f(p) et 7(7) désignant ce que devient lorsqu’on y remplace x par P et 7. [Ces deux quantités ^(/j) et 7(7) sont nécessairement de même signe, puisque, autrement, en vertu du premier principe, 7(x) aurait encore au moins une racine réelle comprise entre et 7, ce qui serait contre l'hypothèse.]
Cela posé, pour déterminer plus facilement les signes des deux résultats ci-dessus, divisons le premier par le second; il vient
ou bien
Mais et 7 comprenant les racines a, b, c,..., el p étant < 7, on a nécessairement
p <Cfi, b, c,..., et b, c,...;
d'où l'on déduit
et
Donc, puisque /j — n et 7 — <2 sont de signes contraires, de même quo
— é et 7 — é, /J — c et 7 — c,. . . , les quotients partiels ^ ^ , ESiJi.
• • • sont tous négatifs. D’ailleurs est essentiellement positif, puisque q[p) et 7(7) sont de môme signe; ainsi le produit
sera négatif si les racines comprises a, b, c,... sont en nombre impair, et positif si elles sont en nombre pair.
Donc, enfin, les deux résultats [p — a)(p ~ b)[p — c)x. ..x q(p) et (7 — o)(7 — i)(7 — c)x...x 7(7) seront do signes contraires ou de mémo signe, suivant que les racines comprises entre p el q seront en nombre impair ou en nombre pair.
LIHITE SOPfililEtlBE DES RACINES POSITIVES. ^23
Conséquence. — Il r^sulle nécessairement do cette proposition que, si deux nombres, substitués à la place de x dans une équation, donnent deux-résultats de signes contraires, ils comprennent au moins une racine, mais ils peuvent aussi en comprendre un nombre impair quelconque; et s’ils donnent deux résultats de même signe, ou ils ne comprennent aucune racine, ou bien ils en comprennent un nombre pair quelconque.
Limites des racines réelles des équations.
Les diverses méthodes inventées pour la résolution des équations numériques se réduisent, en dernière analyse, à substituer, dans l’équation, des nombres particuliers qui, la vérifiant, en sont alors reconnus racines, ou qui, du moins, sont jugés devoir comprendre une ou plusieurs racines. Mais, en réfiécbissanl sur l'accroissement rapide (à mesure que X augmente] du premier terme par rapport aux autres, qui sont do degré moindre, on sent qu’il doit exister un nombre susceptible de rendre ce premier terme à lui seul supérieur à tous les autres réunis, c’est-à-dire à leur somme arithmétique (Oi), et qui, par conséquent, substitué dans l’équation, donne nécessairement un résultat de même signe que ce premier terme (qu’on peut toujours regarder comme /Msitif). Ce nombre est donc une limite au delà do laquelle toute autre substitution deviendrait inutile, puisqu’on serait sûr d'obtenir des résultats constamment positifs, et jamais nuis. C’est donc par la détermination d'un pareil nombre qu’il convient de faire précéder le développement des méthodes de résolution.
30,'i. On appelle limite supérieure des racines positives d’une équation tout nombre qui surjxssse la plus grande des racines positives de cette équation.
D'après cette définition, il existe une infinité de limites supérieures pour une équation donnée; car, dès qu’un nombre est reconnu supérieur à la plus grande racine positive, tout nombre plus grand jouit à plus forte raison do cette propriété; mais alors on doit se proposer d'obtenir la limite la plus petite possible. Or on est certain d’avoir une limite dès que l’on a obtenu un nombre qui, substitué à la place de x, rend le premier membre /msitif, et qui est tel en meme temps, que tout autre nombre plus grand donnerait aussi un résultat positif.
Occupons-nous donc do la détermination d’un nombre qui jouisse de cette double propriété.
30fi. Commençons, avant tout, par résoudre la question suivante ; On demande un nombre qui, substitué à la place de x dans une équation.
4^4 CniPITRS T1II.
rende te premier terme x" plus grand, h lui seul, que la somme arilhméliqiio de tous les autres.
Supposons, à cot effet, que tous les termes de l'équation soient négatifs, à partir du second, en sorte que l'on ait
X" — P.E— ' - Qx”-’ — . . . — Tx — ü = O ;
il s’agit alors do trouver pour x un nombre qui rende
(i) x"> Px"“' -* Qx""’ - T...-fx-f ü.
Or, si l’on désigne par K Iq plus grand de tous les coefDcients, et qu'on pose la nouvelle inégalité
(2) x"> Kx""' Kx"“’-i- . . . -r Kx -I- K,
il est évident que tout nombre qui, mis à la place de x, satisfera à celle-ci, satisfera, à plus forte raison, à la précédente.
Mettons d’ailleurs le facteur x" en évidence dans l’inégalité (a); elle devient
et sous cette forme on voit déjà que, quand un nombre substitué à la place de X aura satisfait à l'inégalité, tout autre nombre plus grand y
satisfera encore, puisque la somme des quantités J ^ • devient
d’autant plus petite que x est plus grand.
Cela posé, si l’on fait d’abord x = K dans l’inégalité (3), on a K“ pour le premier membre, et, pour le second
quantité plus grande que K". Ainsi le nombre K no satisfait pas à l'inégalité.
Essayons maintenant K -1- i, nous obtenons (K -t- 1)" pour le premier membre.
Quant au second, pour en calculer plus facilement la valeur, remontons à l’expression
K X”-' K X— ’ -s- . . . -t- Kx H- K,
LIHITB gCPeRIEOKB DES RiCI5ES POSITIVES. 4^^
qui, (i'après la propriété du n"3l, ou d’après la formule du n°103, re-
vient à K - — - ; et remplaçons jr par K -h i .
Il vient, par cetle substitution,
' ) ou, réduisant, {K+i)“— i,
résultat plus petit que (K + i)".
D'ailleurs nous avons déjà reconnu que tout autre nombre plus grand satisferait, à plus forte raison, à l'inégalité (3).
Donc, enfin, (K -t- i), ou le plus grand coefficient do l’équation, nugmérité de l’unité, et tout nombre sii/rériciir à (K + i) jouissent de la propriété de rendre le premier terme à lui seul, plus grand que la somme arithmétique de tous tes autres.
307. Limite ordinaire des racines positives. — Le nombre que l’on vient d’obtenir peut être considéré comme une première limite, puisque ce nombre, ou tout autre nombre plus grand, rendant le premier terme supérieur à la somme de tous les autres, les résultats des substitutions do ces nombres à la place de x doivent être constamment positifs; mais cette limite est ordinairement beaucoup trop grande, parce qu’en général l’équation renferme plusieurs ternies positifs. Cherchons donc une limite plus rapprochée de la plus grande racine.
Désignons par jt”"* la puissance de x, correspondant au premier terme négatif qui vient après le terme x", et considérons le cas qui est évidemment le plus défavorable (mais il est plus facile à traiter), celui où tous les termes sont négatifs à partir de x’"'”, et affectés du plus grand des coefficients négatifs qui entrent dans l’équation.
Soit S ce coefficient ; tâchons d’abord de satisfaire à la condition
( I ) Sj:”-" Sa:"-*-'
ou, mettant le facteur x“ en évidence
Sx H- S;
Cette autre forme prouve déjà que, quand on aura trouvé pour x on nombre qui satisfasse à l’inégalité, tout autre nombre plus grand y satisfera encore, puis(|ue la quantité entre parenthèses devient d’autant plus petite que x est plus grand.
Or, si l’on pose d’abord
x" = S, ou X = y^S = S',
4a6 CHAPITRE TIII.
lo premier membre do l’inégalilé (2) devient S'", et le second
quantité plus grande que S'".
Donc S' ou (/B no satisfait pas à l’inégalité.
Faisant actuellement
x = S'-ii ou (j/Bs-i),
on obtient d’abord (S'-e 1)'" pour le premier membre.
Quant au s<“cond, pour en calculer la valeur, il est plus simple de remonter à l’inégalité (i), dont le second membre revient (31 ou 193) à
En remplaçant j: par S' -t- 1 , on a, pour celte expression,
OU S'"’'[{S'-‘- 1)’"""" — ij
(à cause de S = S'"); ou bien encore, effectuant les calculs,
Or celte dernière expression est moindre que (S'-i- 1)“; donc S'-i- i ou I-+-J/B, et tout autre nombre plus grand jouissent de la propriété de rendre lo premier terme plus grand, à lui seul, que la somme arithmétique des seuls termes qui soient négatifs dans l’équation, et, par consériuent, de donner pour le premier membre des résultats constamment positifs.
Donc, enfin, i + (/B, ou l’unité augmentée de la racine du plus grand coefficient négatif, racine d’un degré marqué par le nombre des termes qui précèdent le premier terme négatif, est une limite supérieure des racines positives de l’équation.
Lorsque le premier terme négatif est le second terme de l’équation, il faut faire n = 1, et la limite devient S -1- i, ou le plus grand coefficient négatif augmenté de l’unité ; c’est la limite dont on se sert le plus communément.
Si les deux premiers termes sont positifs, ou que le second terme manque, on a n = 2, et la limite est alors i -1- j/B.
Dans le cas do n = 3, on a pour limite i -t- y'B; et ainsi do suite.
LIMITE SUPÉRIEURE PAR LES DÉCOMPOSITIONS. Prenons pour exemples les équations suivantes :
49 x’ *- 5'ix — 13 = 0,
1 y/S = iH-
3x“^ — 2X*— IlX-4-
N. B. — Dans le dernier exemple, on a d’abord divisé l’équation par 3, avant d’établir la limite, parce que, dans la recherche de la limite générale, le coefficient du premier terme a été supposé égal à l’unité.
De plus il est d’usage d’exprimer cette limite en nombres entiers.
308. Souvent, au moyen d’une transformation exécutée sur l’équation,
on obtient une limite plus petite que -+- 1.
Considérons, par exemple, la première des équations ci-dessus ; *elle peut être mise sous la forme
Or il est visible qu’en y mettant, pour x, 5 ou tout autre nombre plus grand, on obtiendrait un résultat constamment positif; donc 5 est une limite, tandis que l’on avait trouvé 6 d’après la formule.
On a de mémo, pour la seconde équation,
(en réunissant le premier et le quatrième terme, le second et le troisième, etc.); or on voit que x = y49, c’est-à-dire 4j ou tout autre nombre plus grand, donnerait un résultat positif.
L’artifice de cette méthode, qui ne peut s’appliquer qu’à certaines équations, consiste à décomposer le premier membre en pUisieurs parties composées chacune de deux facteurs dont le premier soit un monôme ajfccté du signe -+-, et Vautre un binôme en x dont le second terme soit numérique et négatif, puis à déterminer x de manière que tous les facteurs entre parenthèses soient positifs.
Elle est rarement applicable à des équations renfermant plusieurs termes consécutifs affectés du signe — . •
Par exemple, on ne peut l’appliquer à une équation telle que
428 CHikPITRE YIII.
Toutefois, comme le premier membre de cette équation peut se mettre sous la forme
on reconnaît aisément que i3 + i, ou i4, serait une limite supérieure.
309. Méthode de Neivton /wr/r déterminer ta limite supérieure Ut plus petite possible (en nombres entiers).
Soit X = O l'équation proposée ; si l’on fait, dans cette équation,
x' étant une indéterminée, on obtient (262) la transformée
dont les coefficients s’obtiennent d’après une loi connue.
Cela posé, concevons que, par des essais successifs, on soit parvenu
à déterminer pour x' un nombre qui, substitué dans X', Y', — j • ■ • j
rende tous ces coelCcients positifs à la fois; je dis que ce nombre est su/iérieur à ht plus grande racine positive de l'éfptation X = o.
En effet, les coefficients de la transformée étant tous positifs, aucun nombre absolu ne peut vérifier cette équation. Ainsi les valeurs réelles de U doivent être toutes négatives. Mais de l'équation x = x'-¥- u on lire u = X — x' ; et pour que les valeurs de u qui correspondent à chaque valeur de x et à la valeur de x' (déjà déterminée) soient négatives, il faut absolument que la plus grande valeur positive de x soit moindre que la valeur de x’. c. 0. F. d.
Voici, d’ailleurs, la manière d’appliquer la méthode.
Soit l’équation
X* — Sx’ — 6x’— igx -t- 7 = o.
Comme x' est un caractère indéterminé, on [leut conserver la lettre x dans la formation des polynômes dérivés ; et l'on a
X= X* — Sx’ — 6x’ — >9xh-7,
Y = — i5x’ — lax — 19,
- = Gx’— i5x‘ — 6,
DÉTEBIIIKATION DES AUTRES LIMITES. ^IÇf
La question est, comme on vient de le voir, ramenée à trouver pour jr un nombre entier (le plus petit [mssible) qui rende tous ces polynômes positifs.
Commençons par le polynôme du premier degré ; il est visible (jue i, ou tout autre nombre > a, le rend positif.
a, substitué dans le polynôme du second degré, donne un résultat négatif; mais 3, ou tout nombre > 3, donne un résultat positif.
3 et 4, substitués dans le polynôme du troisième degré, donnent un résultat négatif; mais 5 donne un résultat positif, et il en serait do mémo de tout autre nombre plus grand.
Enfin 5, substitué dans X, donne un résultat négatif; et il en est de même de 6, car les trois premiers termes — 6x’ reviennent
à x'(x — 5) — Gx’, expression qui se réduit à zéro dès que l'on fait x = G ; mais X = 7 donne évidemment un résultat positif.
Donc 7 est une limite supérieure des racines posiiii’cs de la proposée , c’est d'ailleurs, en nombres entiers, la limite la plus petite, puisqu'on vient de reconnaître que G donnait un résultat négatif, d’où il suit (303) qu’il y a au moins une racine comprise entre G et 7.
En t’énénd, on obtiendra par cette méthode la limite la plus petite en nombres entiers, toutes les fois que l'on aura reconnu qu’un certain nombre entier K et tout nombre plus grand, rendant positifs tous les polynômes dérivés, mais négatif le polynôme proposé, K -1- 1 rend celui-ci positif. La limite la plus petite est alors K -t- 1 .
C'est ainsi qu’on trouvera que G cl 7 sont les limites respectives des équations
jé’ — 3x' 8x’ — a5x'-i-4a' — 3g = o, x‘ — 5x‘ — 1 3x^ -t- 17X’ — Gg = O.
iV. B. — On conçoit que cette méthode (qui n’est d’ailleurs employée que dans la recherche des racines incommensurables) peut donner même une quantité moindre que l’unité pour limite sujiérieure ; puisque, d'a|irés la nature de celle méthode, il suflit do trouver pour x un nombre qui rende positifs le polynôme proposé et ses dérivés. (Nous en verrons un exemple au n" 3ii.)
310. 11 nous reste maintenant à déterminer la limite sti/tériciire des racines négatives, et les limites inférieures des racines, soit positives, soit négatives.
Dorénavant nous désignerons par la lettre L la limite siqiérioure des racines positives d’une équation, de quelque manière qu’on l’ait obtenue.
1° Si, dans l’équation X = o, on fait x =■ — y, ce qui donne la transformée V = o, il est clair que les racines positives de celte nouvelle équa-
Olgitized
CHAPITRB VIII.
lion, étant prises avec le signe —, üonncront les racines négatives de la proposée ; donc, en déterminant |iar les moyens connus la limite supérieure L' des racines positives de la transformée, on aura — L' iiour ta limite suf)éricurc (numériquement) des racines ncgaticcs de la pro/iosvr.
1° Si, dans l'équation X = o, on fait x = ".> '' résulte une transformée V = O, dont les coefficients sont ceux de la proposée écrits dans
un ordre inverse. Or il suit de la relation — j qu’aux plus grandes valeurs positives de y correspondent les plus petites do x\ donc, en désignant par l la limite supérieure des racines positives de la transformée.
on aura
pour la limite inférieure des racines /msitices de la pro/Msée.
3” Enfin si, dans la proposée, on remplace e par — y et qu'on cherche la limite supérieure l' des racines positives de la transforméo Y = o, — P sera la limite inférieure (numériquement) des racines négatives de la proposée.
3H. N. B. — Nous terminerons par doux remarques fort utiles dans la recherche des limites.
Premièrement, toute éijualion qui n’a que des permanences de signes, c'est-à-dire dont tous les termes sont positifs, ne peut avoir pour racines réelles que des nombres négatifs; car tout nombre positif, mis à la place de X, rendrait le premier membre essentiellement positif. Ainsi, dans ce cas, zéro est la limite supérieure des racines positives.
En second lieu, toute équation compiète, dont les termes sont alternativement |X)silifs et négatifs, c’est-à-dire qui n’a que des variations de signe, ne peut avoir pour racines réelles que des nombres /msitijs; car il est évident que tout nombre négatif, mis à la place de x dans la proposée, rend tous les termes positifs si l’équation est do degré pair, et tous les termes négatifs si ré(iuation est de degré impair. Ainsi la somme des termes ne peut devenir mille.
Donc, dans ce cas, il est inutile do rechercher les limites négatives.
Il en est de même de toute équation incomplète, telle que, si Ijfm change X en — y, il en résulte une transformée qui n'a que des permanences.
CoNSÉOUENXES DéoeiTES DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS.
Le principe fondamental de la résolution des équations numériques, et ceux que nous venons d’établir sur les limites, ont conduit les géomètres à des conséquences très-importantes.
CONSÉQUENCES DES PRir^CIPES PRÉCÉDENTS.
312. Preuière conséquence. — Toute équation de déféré impair, dont les coefficients sont réels, a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.
En effet, soit -h Px”"' 4- ... h- Tx dr ü — o l’équation proposée; et considérons d’abord le cas où le dernier terme est négatif.
Si l’on fait x = o dans l’équation, le preniier membre se réduit à ~ ü. D’un autre côté, substituons, à la place de x, (K 4- 1), ou (306) le plus grand coefficient de l’équation augmenté de l’unité ; comme, par cette sul)stitution, le premier terme x^ est à lui seul plus grand que la somme arithmétique de tous les autres termes, il s’ensuit que le résultat do la substitution est positif. Donc, en vertu du principe démontré (303), il Y a au moins une racine réelle comprise entre zéro c/ (K 4- i), laquelle racine est positive et, par conséquent, de signe contraire au dernier terme.
Supposons actuellement le dernier terme positif.
En faisant toujours x = o, on trouve pour résultat 4- ü ; mais en mettant, pour X, — ( K 4- 1), on obtiendra un résultat nécessairement négatif, puisque le premier terme x”, qui devient négatif par cette substitution, donne son signe à toute l’expression. Donc l’équation a au moins une racine réelle comprise entre zéro et — (K 4-1), c’est-à-dire négative ou de signe contraire au dernier terme.
Seconde conséquence. — Toute équation de degré pair, à coefficients réels, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, Vunc positive et Vautre négative.
En effet, soit — ü son dernier terme ; en faisant x = o, on trouve pour résultat — U. Substituons successivement (K 4-1) et — (K -1-1), K étant toujours (306) le plus grand coefficient de l’équation; comme m est pair, le premier terme x” reste positif. D’ailleurs il devient plus grand, par ces substitutions, que la somme de tous les autres; donc les résultats des deux substitutions sont l’un et l’autre positifs, ou de signe contraire à celui que donne l’hypothèse x = o. Ainsi l’équation a au moins deux racines réelles, l’une comprise entre zéro et (K 4-1), ou positive, et l’autre comprise entre zéro et — (K 4- 1), ou négative.
N. B. — On no peut rien conclure pour toute équation de degré pair dont le dernier terme est positif, et môme il est aisé de former des équations qui n’aient que des racines imaginaires : il suffît, pour cela, de multiplier entre eux plusieurs trinômes du second degré qui, égalés séparément à zéro, ne donneraient que des racines imaginaires; il est clair que l’équation ainsi formée n'aurait elle-même que des racines imaginaires.
En rapprochant les deux conséquences précédentes de la proposition
CHAPITBE VIII.
que tnule criitation a un muîns une racine, on voit que cette propos:tion liyiJOthtUique se trouve maintenant li^inontnV pour la plupart des écpiations numériques; d’ailleurs le» démonstrations des const''quonces ci-de>su8 sont fondées sur le princi(.e du n“ 30.3 et sur celui du n“ 300, qui sont tout à fait indépendants de la théorie établie dans le Chapitre VII.
313. TnoisitiiF. CONSÉOUENCE. — Si une ê<iuation, dont les cœfDcients sont ré’cis, a des racines iniuginuires, ces racines ne peuvent être qu'en nombre pair.
En effet, concevons que l’on ail divisé le premier membre de la proposée par tous les litcleurs simples qui corres|)Ondenl aux racines réelles : le pnlynôme (/uotient (jue l’on obtiendra aura ses coeflicients réels ( d'a[)rès la loi de formation du u" 233) ; do plus, il doit être de degré pair; car autrement, en régalant à zéro, on formerait une équation do degré impair qui (312) admettrait une racine réelle w moins; ce qui serait contraire à la nature de cc'llc équation, qui ne doit plus renfermer que des racines imaginaires (*).
lirmanpw. — 1,0 polynôme quotient dont nous venons de parler jouit d’ailleurs d’une propriété caraciérisii<iue , c’ost-àKlire appartenant exclusivement aux équations qui n’ont que des racines imagiicaires : c’est de rester constamment positif, f/ucUpic valeur réelle r/ue l'on y mette à la place de x.
En effet, s’il pouvait devenir négatif, comme on obtiendrait aussi un résultat positif en substituant, [)Our x, (K t- i), ou le plus grand cocfTicient augmenté de l’unité, il s’ensuivrait que ce polynôme égalé à zéro aurait au moins une racine réelle comprise entre (K h- i) et le nombre qui aurait donné un résultat négatif.
11 suit encore de là que le dernier terme de ce polynôme doit être po-
(*) peut encore consiflérer colto proposition comme une conséquence du théorème de M. Cauchyt puisque, dnns le cours de l.*» démonstration que l’on on donne ordinairement, on est conduit à prouver que Coûte équation qui a une racine de la forme a “• ^ nécessairement une seconde de la forme
a — A y — I ; ce qui entraîne la conséquence que les racines imaginaires Tout par roupies. Cest ainsi, en effet, que raisonnent tous les auteurs qui ont développé la démonstration du théorème précité. Mais nous persistons à penser que ce thcoiéme, tant par la nature de sa démonstration que par les dirticultes d’analyse qu’elle présente, ne s.iurnit servir de point de départ à la théorie des ëquetioiis. Au surplus, le fait analytique que les racines imaginaires des éjualions trouvent par couples et sont de la forme a ^ y — l sera établi au commencement du Chapitre IX..
kfcGLB DES SIGNES DE DESCAETES. 43^
sitif, puisque, autrement, x=o donnerait un résultat négatif, ce qui ne doit pas être.
314. QcATniàMB conséqde.nce. — Toutes les fois que le dernier terme d’une équation est positif, le nombre des racines réelles positives de l’équation est pair ; et toutes les fois qu’il est négatif, le nombre des racines réelles positives est impair.
En effet, supposons d’abord que le dernier terme soit ■+■ U, ou positif. Comme, en faisant = o, on a pour résultat U, et qu’en faisant x = K -m on a aussi un résultat positif, il s’ensuit que o et (K + i| donnent deux résultats de même signe, et, par conséquent (304), que le nombre des racines réelles qu’ils comprennent, est nul, ou généralement qu’il est un nombre pair quelconque.
Si, au contraire, le dernier terme est — ü, alors o et (K -m) donnent deux résultats de signes contraires, et comprennent, par conséquent, une racine ou un nombre impair quelconque de racines réelles.
La réciproque de cette proposition est évidente.
