RÈGLE DES SIC.NES DE DESCARTE

313. La règle suivante fait connaître le plus grand nombre de racines positives et le plus grand nombre do racines négatives qu’une équation numérique puisse renfermer.

Une équation d’un degré quelconque ne peut avoir plus tic racines positives que de variations de signes, ni un nombre de racines négatives plus grand que celai des permanences, si toutefois (restriction nécessaire pour la seconde partie) Vcquation est complète.

Pour démontrer la première partie do la proposition, nous ferons voir d’abord que la multiplication du premier membre d'une équation par un facteur x — a correspondant à une racine positive introduit au moins une variation de plus.

Soit, en effet, l’équation

Mx"-i-...— Nx”-...-i- Px»... ...-i- -i-...±Tx'±...= o,

dont nous supiioscrons, pour la plus grande généralité possible, le premier membre composé d’une première série de termes positifs commençant par Mx™, puis d'une série de termes négatifs commençant par — Nx", puis encore d’une série de termes positifs commençant par -f- Px», et ainsi de suite, jusipi’à une dernière série de termes de même signe commençant par ± Tx*, et qui seront tous jmsitifs, ou tous négatifs, suivant que ces séries alternatives de termes positifs et de termes négatifs seront Alg. B. 28

434 COAPITBB nii.

en nombre impair ou en nombre pair, chacune d’elles pouvanl se réduire à un seul terme.

Cela posé, multiplions le premier membre de l’équation par x — a \ nous obtiendrons deux produits partiels dont le premier aura ses termes affectés des mêmes signes que le multiplicande, et dont le second aura ses termes affectés de signes contraires à ceux du multiplicande, et avancés d’un rang vers la droite. On pourra donc, en ne tenant compte que des signes qu’il est utile do considérer, écrire les deux produits partiels et le produit total, de la manière suivante :

H- ... — ...-+- PjS’-^-. . .± Tx'±...

..- Nj:"’-" — ...-H ..dtlx*-*'...

Or on voit tout de suite, à l’inspection de ce produit total, que son premier terme est positif comme celui du multiplicande; qu’au premier terme négatif ~ N. r" du multiplicande corres|)ond un terme négatif du produit total, quels que soient d’ailleurs les signes interniédiaircs; que, de même, au terme -i- Pa' du multiplicande correspond un terme positif du produit total; et ainsi de suite, jusqu’au terme iTx* du multiplicande, qui est le premier de la dernière série, et auquel correspond également un terme du produit total, affecté du même signe que lui.

D'où il résulte qu'à chaque variation do signe du multiplicande correspond au moins une variation du produit total ; mais celui-ci est terminé par un terme affecté du signe q:, qui amène nécessairement au moins une variation qui ne se trouve pas dans le multiplicande. Donc l'intnx/iu-tion d’une racine positive dans une équation fait naître au moins une variation de plus. c. 0. P. D.

Maintenant, si l’on conçoit qu’une équation à coefficients réels ait été d’abord débarrassée de tous les facteurs x — a, x — b, x — c,. . . correspondant à ses racines positives, et qu’ensuite on les introduise successivement dans le polynôme-quotient, comme chaque nouvelle racine introduite produit au moins une variation de plus, il s’ensuit que l'équation résultante, ou l’équation proposée, ne saurait avoir plus de racines positives que de variations; ce qui constitue la première partie do la proposition énoncée au commencement do ce numéro.

Quant à la seconde partie, il suffit d’observer que, si l’on change x en — X dans une équation, ce qui revient (310) à changer les racines positives en racines négatives, et réciproquement, les variations do signes de

RftCill! SIS SIGNES DE DBSCAET18.

l’équation devien4ront des pennanenccs, et réciproquement, si l'équation est complète. Or, en vertu de ce qui vient d'étro dit, la transformée ne peut pas avoir plus de racines positives que de variations de signe ; donc la proposée elle-même ne peut pas avoir plus de racines négatives que de liermanences .

N. B. — Le moyen de démonstration que nous venons d’exposer est dû à M. Gauss, qui a, en outre, fait plusieurs remarques relatives au cas où l'équation est incomplète {*).

Nous nous bornerons à faire observer, d’après lui (et nous insistons sur ce point), que la première partie de la proposition est toujours vraie, quelle que soit l'équation, complète ou incomplète ; mais que la seconde partie peut être en défaut si l’équation est incomplète.

Ainsi soit, par exemple, l’équation du quatrième degré

Cette équation, ayant son dernier terme négatif, a au moins (312) deux racines réelles, l’une positive, l’autre négative; et cependant, comme elle n’a que des variations de signe, il semblerait qu’elle ne peut avoir aucune racine négative ; mais si l’on complète l’équation en rétablissant le terme en x^, il vient

équation qui présente une permanence, soit qu’on prenne le coefficient o avec le signe -t-, soit qu’on le prenne avec le signe — ; et le paradoxe disparaît.

Voici, au reste, un énoncé qui comprend évidemment tous les cas ; Dans toute érptation, complète ou incomplète, le nombre des racines positives est au plus égal au nombre des variations de signe ipi'elle présente, et le nombre des racines négatives est au plus égal au nombre des variations Je signe <pæ présente la transformée qui résulte de la substitution de — X à la place de x dans l’équation proposée.

316. CoxsÉQüENCE. — Toutes les fois qu’une équation n’a que des racines réelles et qu’elle est complète, le nombre des racines positives est égal au nombre total des variations, et le nombre des racines négatives au nombre total des permanences.

En effet, soient m le degré de l’équation, n le nombre des variations de signe qu’elle présente, et p le nombre des permanences; on a nécessaire-

(•) t'oie le Journal de Creile, t. III, p. i, et le Bulletin des Sciences de Furussac, t. IX, p. 353.

CBlPITtB Tlll.

ment /» = />+ p. Soient d’ailleurs n' le nombre des jacines positives et // 1e nombre des racines négatives ; on a encore

m = n'-rp', d’où l'on déduit n -t- p = n’-i- p'.

Or on vient de voir que n' ne peut être > n, et que p' ne peut pas être > p\ donc il faut que l’on ait n‘= n et p'= p.

317. Remarque. — Lorsqu’une équation manque de quelques termes, on peut souvent, au moyen de la règle précédente, reconnaître la présence de racines imaginaires.

Soit, par exemple, l’équation

■+■ px -1-^ = 0,

petq étant essentiellement positifs. Rétablissons le terme qui manque, en l'affectant du cocfTicient ± o ; il vient

X^± 0.'j’->- px -4-^ = 0.

En n’ayant égard qu’au signe supérieur, on ne voit que des permanences, tandis que le signe inférieur donne deux variations. Cela prouve que l’équation a des racines imaginaires; car, si scs racines étaient toutes trois réelles, il faudrait, en vertu du signe supérieur, (|u’olles fussent toutes trois négatives, et, en vertu du signe inférieur, qu’il y en eût deux positives et une négative, résultats contradictoires.

On ne peut rien conclure si l’équation est de la forme

3^ — px <7 = o;

car, opérant comme au n° 315, rétablissons le terme ± o.x‘ -, il vient x*± o.x’ — px + q = o,

équation qui présente une permanence et deux variations, soit que l’on prenne le signe supérieur, soit que l’on prenne le signe inférieur. Ainsi celte équation peut avoir ses trois racines réelles, savoir, deux positives et une négative ; ou bien elle a deux racines imaginaires et une négative, puisque son dernier terme est positif (3H).

Passons actuellement à l’exposition des diverses méthodes de résolution des équations numériques.

§ II. — Recherche des racines commensurables des équatio.vs

.NUHÉRIQÜES.

318. Les racines ré-elles commensurables doivent être l’objet des premières recherches. Ces racines peuvent être entières ou fractionnaires.