MÉTHODE DES RACINES COMMENSURABLES

Observons d’abord que toute équation dont le premier terme a pour coefficient Vanité, et dont tous les autres coefficients sont des nombres entiers, ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit l’équation

Px«-‘ . .-h Tx U = O,

dans laquelle P, 0> ...» T, U sont des nombres entiers, et supposons qu’elle puisse avoir pour racine un nombre fractionnaire commensurable,

tel que nous obtiendrons, par la substitution.

P fl"-' ^fl"-’

d’où, multipliant toute l’équation par lf*~\ et transposant,

^jJVt

Or le second membre de cette égalité se compose d’une suite de nombres entiers, tandis que le premier membre est essentiellement fractionnaire ; car, fl et /> pouvant toujours être supposés premiers entre eux, il en est de môme [Arithm., n® 130) de a’" et ; donc cette égalité ne saurait exister. Donc il est impossible qu’aucun nombre fractionnaire commensurable satisfasse à l’équation.

Cela posé, on a vu (2G5) comment, étant donnée une équation dont les coclRcients sont rationnels, mais fractionnaires, on peut la transformer en une autre dont les coefficients soient entiers, son premier terme conservant d’ailleurs Tunité pour coefficient. Ainsi, dès que l’on aura établi une méthode, pour trouver les racines entières d’une équation à coefficients entiers, le premier terme ayant d* ailleurs Vanité pour coefficient, il sera ensuite facile d’obtenir les racines commensurables (entières ou fractionnaires) de toute qquation h coefficients quelconques, mais rationnels.