A cet effet, reprenons l’équation générale

jf H- Px"“' -f- . . . -H Rx^ -h Sx* -h Tx -h ü = O ,

P, Q, . . ., R, S, T, ü étant des nombres entiers. (Pour l’exposition de la méthode, il faut nécessairement écrire les quatre ou cinq derniers termes.)

Désignons par a un nombre entier, positif ou négatif, qui doit vériOer l’équation, et cherchons à quelles conditions il doit satisfaire pour en être racine.

438 CBÀFirai Tiii.

Si a est racine, on doit avoir l’égalité (i) n”-(- Prt""' H- . . Rn’-h So’h- Ta -I- ü = o;

donc, si l’on remplaçait a par tous les nombres entiers positifs et négatib compris entre les limites + L et — L' (310) des racines positives et négatives, ceux qui vériQeraient l’égalité ci-dessus seraient reconnus racines; mais on congoit combien ces essais seraient longs et pénibles. On a donc cherché à déduire de l’égalité (i), qui est une condition nécessaire et suffisante, d’autres conditions plus simples à vérifier.

Transposons tous les termes, excepté le dernier, et divisons par a; l’égalité (i) se trouvera mise sous la forme

Or le second membre de cette nouvelle égalité est un nombre entier ; donc

il faut 'que ^ soit un nombre entier. Ainsi déjà les rccines entières de

l'équation sont comprises parmi les diviseurs du dernier terme, pris tant avec le signe -t- qtâavec le signe — .

Transposons actuellement, dans l’égalité (a), le terme — T, et divisons par a, en posant, pour plus de simplicité,

il vient

(3) -= — n— Pa"-’-...— Ra-S.

Le second membre de l’égalité (3) est un nombre entier; donc il faut

que — J ou fe quotient de la division de — -h T par a, soit un nombre entier.

Transposons de nouveau le terme — S, et divisons par a, en posant T'

il vient

4) -= — a"-’ — Pa“-*— ... — R.

Le second membre de cette égalité est un nombre entier ; donc il faut

que — ) on le quotient de la division r/e — S par a, soit un nombre

entier.

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MtTHODE DBS lUCINBS COMMENSDIABLES. 4^9

En continuant ainsi de transposer dans le premier membre tous les termes du second, on parviendra, après la (m — i)"" transformation, à une égalité de la forme

Transposant enfin le terme — P, divisant par a, et posant

on trouve

— = — 1 , ou h I =■ O.

Cette égalité, qui n’est d’ailleurs qu’une transformée de l’égalité (i), est la dernière condition à laquelle il faut et il suffit que le nombre entier a satisfasse pour être reconnu racine.

En rapprochant les conditions précédentes, on peut conclure que, pour qu'un nombre entier a, positif ou négatif, soit racine’ de l'équation proposée, il faut :

Que le quotient du dernier terme divisé par a soit entier;

Que, si l’on ajoute à ce quotient le coefficient de j:* (pris avec son signe), le quotient de cette somme divisé par a soit entier ;

Que, SI l’on ajoute à ce nouveau quotient le coefficient de x’, le quotient de cette nouvelle somme divisée par a soit entier; et ainsi de suite;

Qu’enfin, si l'on ajoute le coefficient du second terme de l’équation, ou de x"-', au quotient précédent, le quotient de ta nouvelle somme divisée par a soit entier et égal à — i ; ou bien encore que le résultat de l’addition de l'unité ou du coefficient de x" au quotient précédent soit égal à zéro.

Tout nombre qui satisfera à ces épreuves réunies sera racine, et ceu.v qui manquciont à quelqu’une d’elles devront être rejetés.

320. Afin de déterminer à la fois toutes les racines entières d’une équation, voici la marche qu’il convient de suivre :

Après avoir déterminé tous les diviseurs du dernier terme (Arithm., n°143), on écrit sur une même ligne horizontale, et tant avec le signe -iqu’avec le signe — , tes diviseurs compris entre les limites -h L et — L', puis, au-dessous de ces diviseurs, tes quotients du dernier terme divisé />ar chacun d’eux.

On ajoute ensuite à chacun des quotients le coefficient rfc x‘, ce qui donne des .sommes que l’on place au-dessous des quotients qui leur correspondent ; puis on divise ces nouvelles sommes par chacun des diviseurs.

CnAPITRB Till.

ce qui donne des quotients que l'on écrit au-dessous des sommes correspondantes (on a le soin de rejeter les quotients fractionnaires et les divi* seurs qui ont donné ces quotients); et ainsi de suite.

Observons en outre que, si quelques termes manquent dans l’équation particulière proposée, il faut en tenir compte, en regardant chacun de leurs coeilicients comme égal à zéro.

Enfin il est inutile d’appliquer la méthode aux diviseurs -4- i et — i , parce que leur substitution dans l’équation réduit le premier membre à la série des coefficients; et il est facile de s’assurer directement si ces deux nombres satisfont ou ne satisfont pas à l’équation.

Soit, pour premier exemple, l’équation

La limite supérieure des racines positives de cette équation est i3 -4- i ou 14. [On ne considère pas ici le coefficient 48, parce que, les deux derniers termes revenant à 16 (x — 3), dès que l’on fait x > 3, cette partie est essentiellement positive.]

On trouverait d’ailleurs (310), pour la limite supérieure des racines négatives, — (i -4- ou — 8.

Cela posé, les diviseurs de 48 moindres que 14 sont i, 2, 3, 4j 6, 8, 12; d’ailleurs aucun des deux nombres -4-1, — i ne satisfait à l’équation, car le coefficient — 48 est à lui seul numériquement plus grand que tous les autres réunis. Ainsi l’on ne doit soumettre aux épreuves que les diviseurs positifs compris depuis 2 jusqu’à 12, et les diviseurs négatifs compris depuis — 2 jusqu’à — 6.

Voici le tableau des calculs, d’après la marche indiquée :

La première ligne est celle des diviseurs; la deuxieme celle des quotients de la division du dernier terme, — 48, par chacun des diviseurs.

La troisième est la ligne des quotients que l’on vient d’obtenir, augmentés du coefficient -4- 16 de la proposée; et la quatrième celle des quo-

BiTHODE SES RACINES COMBENSDBABLES. 44 >

tients de ces sommes divisées par chacnn des diviseurs : cette deuxième ’ condition exclut d’abord les diviseurs -i- 8, -t- 6 et — 3.

La cinquième est la ligne des quotients précédents augmentés du coefficient — 1 3 de la proposée ; et la sixième celle des quotients des nouvelles sommes par chacun des diviseurs : cette troisième condition exclut les nouveaux diviseurs 3, a, — a et — 6.

Enfin la septième est la ligne des troisièmes quotients augmentés du coefficient — i de la proposée; et la huitième celle des quotients des dernières sommes par chacun des diviseurs. Il n'y a que les diviseurs -h 4 et — 4 qui donnent — i; donc -h 4 et — 4 sont les seules racines entières de la proposée.

En effet, si l’on divise x* — x‘ — i3x’-i-i6x — 4^ psr 1® produit (jr — 4)(x -(- 4)i ou x’— i6,il vient pour quotient x’— x -t- 3, polynôme qui, égalé à zéro, donne

Ainsi les quatre racines sont 4, — 4, et ^ ± i ii.

t 321. Remarque. — Comme, dans les applications do la méthode, on

peut commettre quelques erreurs d’addition ou de division, et laisser ainsi échapper quelques racines, il est convenable, après avoir divisé le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré, correspondant aux racines déjà obtenues, il est convenable, dis-je, Rappliquer de nouveau la méthode à l’équation résultante, qui est d’un degré plus simple, et dont les coefficients sont aussi généralement plus simples que ceux de la proposée.

U y a môme une circonstance où cette équation résultante peut encore admettre des racines commcnsurables, sans que l’on ait commis aucune erreur : c’est lorsque la proposée renferme des racines égales commensurables. Comme la méthode des racines égales est plus compliquée que celle des racines commensurables, il faut toujours, une équation numérique étant donnée, commencer par la soumettre à la méthode des racines commensurables. Or celle-ci suffit bien pour obtenir les racines différentes, mais elle n’indique pas si une même racine n’entre qu’une fois ou se trouve plusieurs fois dans la proposée. On peut s’en assurer do deux manières : ou bien en soumettant de nouveau à la méthode l’équation qui résulte de la suppression des racines déjà mises en évidence ; ou bien en essayant la division du premier membre de cette équation par les facteurs du premier degré qui correspondent aux racines trouvées.

44^ GBAPITBE TIII.

Soit, par exemple, l'équation

•r* — i3j:* 67^ — 171 x’-i- aiGx — 108 = O.

La limite supérieure des racines positives de celte équation est i3, d’après la décomposition (308) ; d'ailleurs elle n'a pas de racines négatives, puisque l'équation no présente que des variations de signe (311 ).

Les diviseurs do 108, au-dessous de i3, sont

D’ailleurs -t- 1 ne satisfait pas à l'équation, car on trouve — 8 pour résultat do la substitution de -t-i; ainsi a, 3, 4, 6, 9, la sont les seuls nombres à soumettre aux épreuves.

On reconnaît, par l’application de la méthode, que 3 et a sont racines de la proposée,

EfTccluanl la division du premier membre do cette équation par (x — 3) (x — a), ou X- — 5x-(-6, on trouve pour quotient

x’ — Sx*-!- aix — 18 = o,

qui, soumise olle-mémo à la méthode, se trouve avoir encore -i- 3 et a pour racines.

Divisant cette dernière équation par x^ — 5x -+- 6, on obtient X — 3 = o, d’où X =: 3 ; ainsi la proposée peut se mettre sous la forme (.X — 3)’(x — a)’ = o.

N. B. — Nous ajouterons que si, après avoir reconnu qu’un nombre entier n, positif ou négatif, satisfait à l’équation, et après avoir divisé le dernier terme ü par a, on obtient un quotient qui ne soit plus divisible par a, c’est que celte racine n’entre qu’une fois dans l’équation proposée.

322. Rèfilc d’exclusion. — Lorsque le nombre des diviseurs du dernier terme, qui se trouvent compris entre les deux limites -t- L et — L', est très-grand, on peut restreindre le nombre des essais par une règle d'un usage facile.

Soit l'équation

X" -+-Px"-'-(-0x"-' -)-Tx-i- U - o,

dans laquelle nous supposons toujours que les coefGcionts soient entiers.

HiTBODS DES EACIBSS COmSKSOEABLES. 44^

Od sait que, a étant racine de cette équation, son premier membre est divisible par x — a; ainsi l’on a l’identité

a" -H Pi— ' -i- . . . -t-Tx -I- D = (j— a) ( J—' -4- Fj-- *-t- . . . -t- T'x -+- ü').

P', Q', . . ., T', ü' étant, d’après la loi de formation du n° 238, des nombres entiers aussi bien que n, P, Q, . . . , T, U. Cela posé, comme l’équation précédente doit se vérifier, quel que soit x, faisons x = i ; il vient

H- P + Q 4-, . .H- T 4- U = (i - rt) (i P'-t- . . .-I- T'-h U'),

Le second membre de celte égalité est un nombre entier; donc il doit en être de même du premier membre : ainsi a, étant un nombre entier positif ou négatif, ne peut être racine qu’autant que (i — a) ou plutôt (n — i) divise le résultat de la substitution de 4- 1 dans la proposée.

On prouverait de même, en faisant x = — i, que — (i 4- a) ou (a 4- 1) doit diviser le résultat de la substitution de — i ; d’où la règle suivante :

Substituez successivement 4- 1 et — i dans la proposée, et désignez par M et M' les valeurs numériques des résultats de cette double substitution.

(Si l'un des résultats était zéro, auquel cas +i ou — i serait racine, il faudrait commencer par supprimer cette racine dans la proposée avant d’appliquer la règle.)

. 1° Tout diviseur positif du dernier terme, qui, diminué de i, ne divise pas M, et qui, augmenté de i, ne divise pas M', doit être rejeté.

1° Tout diviseur négatif dont la valeur numérique, augmentée de i , ne divise pas M, et diminuée de i ne divise pas M', doit être rejeté.

Afin do mettre plus facilement en évidence ces deux caractères d’exclusion, il convient do décomposer d’abord les deux résultats M et M' dans leurs diviseurs (Arithm., n° 14-i).

Soit, pour exemple, proposé de déterminer les racines commensurables de l'équation

x' — — ’iqx's- 267 x — 3Co = o.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est 37 -4-1 ou 38, parce que aS7x — 36o revient à 267 ^x — • la limite su-

périeure des négatives est — (1-4- /Sfio) ou — ao. Los diviseurs de 36o, que Ton doit soumettre aux épreuves de la méthode du n° 320, sont

donc