Voici de nouveaux exercices

1“ x^ — 5x^+iiSx — ai = o,

MÉTHODE DBS BACINES COMMBICSDBABLES. 44^

2° i5x* — igx*4- 6x’-(- i5x’ — igx-(-6 = o,

3“ gx*-!- 3ox*-i- 21x‘h- iox’+ lyx’ — aox -+- 4 = o,

Pour résoudre les deux dernières équations, il faut d'abord faire disparaître le coefficient du premier terme, d’après la règle du n° 2C5 ; appliquer ensuite la méthode du n° 320 aux deux transformées ; et, après avoir obtenu les racines entières de ces transformées, substituer dans l'équation

X = '^) qui a servi à la transformation, les valeurs des racines obtenues.

321. Ce qui précède suffit pour la détermination des racines commensurables de toute équation numérique dont les coefficients sont rationnels, entiers tm fractionnaires. Cependant nous observerons qu’il y a des questions dont les énoncés conduisent à des équations de degré supérieur, et qui, par leur nature, n’admettent que des nombres entiers pour solutions; c’est-à-dire que toute solution fractionnaire commensurable ou incommensurable doit être regardée comme tout à fait étrangère à la question.

Soit, par exemple, proposé de déterminer la base du système de numération dans lequel le munbre ai 4? (système décimal) serait représenté par l’ensemble des chiffres 3ao4a (système cherché).

Soit X la base inconnue; les termes a, o.x’, ax*, 3x‘ exprimeront les valeurs relatives des chiffres a, 4, °, 2, 3 du nombre 3ao4a. Ainsi l’on a l’équation

3x‘-t- ax^-i- o.x’-H 4x -H a = ai47,

ou bien

3x'-i- ax’-i- 4x — ai45 = o,

à résoudre en nombres entiers et positifs; car x doit être, par sa nature, un nombre entier absolu.

Or, pour peu qu'on réfléchisse sur la méthode exposée n° 320 pour trouver les racines entières d’une équation dont le coefficient du premier terme est l’unité, on verra qu’elle est également applicable au cas où le cocllicicnt du premier terme est un nombre entier quelconque; la seule différence, si l’équation est, par exemple, de la forme

Ax”-(- P.r--'-HQx" Sx’ -i-Tx-t-U = o,

consiste en ce que, epuind on est parvenu à la dernière des conditions que comporte la mélluHlc, le résultat, au lieu d’être égal à — 1, doit être égal à — A.

CHAPITU TIII.

On peut d’ailleurs démontrer directement la méthode en reprenant sur l’équation précédente les transformations et les raisonnements qui ont été faits au n° 319.

Ainsi, pour trouver les racines commensurables entières d’une équation dont le premier terme a un coefficient différent de l’unité, il est inutile d’avoir recours à la disparition de ce coefficient, transformation qui (265) a l’inconvénient do conduire à une équation dont les coefficients sont, en général, très-grands.

D’après cela, recherchons les racines entières do l’équation 3jr*-i-ajd-4-4x — ai45 = o.

La limite supérieure des racines positives est (307)

Le nombre ai45 est décomposablo (Arithm., n° 144) en 3 x 5 x 1 1 x i3; ainsi il n’y a lieu à essayer que les nombres 3 et 5 :

Le seul nombre 5 donne, pour dernier résultat, — 3, ou le coefficient du premier terme, pris en signe contraire ; donc cinq est la base du système cherché.

En effet, 3ao4a, écrit dans le système quinaire, équivaut, dans le système décimal, à

3x5'-(-ax5’-+-ox5’-i-4x5-i-a, ou, en effectuant,

3 X 6a5 -+-axia5-t-4x5-+-a = ai47-

On peut s’exercer sur les exemples suivants.

Déterminer ;

1° La base du système de numération dans lequel ySag (système décimal) est représenté par 5563 (système cherché), [a: = onze.]

Digi! l:y Googlf

BECHBBCHB DES DIVISEDBS DD 3*, 3°, ETC. DEGBB. 44?

3° La base du système dans lequel 8i479 (système décimal ) est représenté par 456356 (système cherché) [j: = sept'\ (*).

RBCIIERCUE des diviseurs COHMENSURABLES DD SECOND DEGRÉ.

323. Observations préliminaires. — La méthode des racines commcnsurables, exposée n° 320, est aussi appelée méthode des diviseurs commensurables du premier degré, parce que, connaissant une racine commensurable, entière ou fractionnaire, d’une éfpiation, on peut (238) diviser le premier membre par le facteur du premier degré en x, correspondant à cette racine; et les coefQcicnts de ce facteur sont nécessairement commensurablcs eux-mémes.

Lorsqu’une é<]uation numérique est débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré, l’équation résultante n'a plus que des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires; mais on conçoit que plusieurs des facteurs du premier degré qui correspondent à ces racines, quoique ayant des coefBcients incommensurables, peuvent fort bien, par leur combinaison deux à deux, donner naissance à des produits dont les coefficients soient rationnels : c’est ainsi que

Or, si l'on avait quelque moyen de découvrir, dans une équation, les diviseurs commensurables du second degré, en les égalant à zéro, on en déduirait des racines de l’équation proposée, et, de plus, on les obtiendrait sous leur véritable forme.

Nous allons voir comment les principes de l’élimination et la méthode du n“ 320 conduisent à ce but.

326. Soit X = O une équation débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré.

Désignons par x’-t- px -i- 17 un quelconque des diviseurs du second degré de X; et </ sont deux indéterminées dont il faut tâcher d’obtenir les valeurs en nombres commensurables, s’il est possible.

Pour cela, divisons X par x' px -s- q , et concevons que l'on ait poussé l'opération jusqu’à ce qu'on soit parvenu à un reste du premier degré en x, de la forme Mx -i- N, M cl N étant des indéterminées fonctions de P et do 7. En égalant ce reste à zéro, on établira la condition

( *) Voir la Note VI ï la Hn du Volume.

CRIPITBB VIII.

que x' -I- px + q devienne diviseur exact de X. D'ailleurs cette division doit 6tre possible indépendamment de toute valeur particulière attribuée à x\ donc, en vertu du principe du n° 180 sur les équations identiques, V équation Mx -i- N je partagera nécessairement on deux autres

M = O, N = O, ou bien V(p,q) = o, F'(/j, </) = o.

Cela posé, b question se réduira à trouver (en nombres commensu râbles) tous les systèmes do valeurs de /> et do 17 propres à vérider ces deux équations.

On commencera par former, d’après la méthode exposée au n® 269, l'équation finale en q, à laquelle on appliquera la méthode des racines eomniemitrtibles (320). Après avoir obtenu toutes les valeurs rationnelles de P, on tes substituera ( 270 ) ilans le reste du premier degré par rapport h q, lequel reste, égalé ensuite à zéro, donnera les valeurs rationnelles de fj, correspondant aux valeurs de p déjà trouvées. Enfin l’on substituera chacun tics systèmes de valeurs de p et de q dans le trinôme x‘‘ -f- px h- q\ ce qui donnera autant de tliviseitrs commensurables du second degré.

Il est évident que l’équation finale en p doit être d’un degré marqué

par m ^ étant le degré de l'équation, puisque c’est l’expres-

sion du nombre total des diviseurs commensurables ou incommensurables du second degré. D’après cola, on peut juger combien cette méthode, facile en théorie, est compliquée dans la pratique. Aussi l’usage en est-il peu fréquent.

On voit assez ce qu'il faudrait faire pour obtenir les diviseurs commensurables du troisième, quatrième,... degré; mais ces dernières questions ne sont d’aucune utilité (*].

§ III. — REcnEnciiE ues bacines réelles incojisienscrables.

Lorsqu’on a débarrassé une équation de tous les diviseurs du premier degré qui correspondent è ses racines commensurables, l’équation résultante n’admet plus que des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires.

La véritable forme des racines réelles incommensurables d’une équation d’un degré quelconque restera inconnue tant qu’on n’aura pas de méthode générale pour résoudre les équations algébriques de degré supérieur. Mais

(*) Dans uno des ?(otcs placée à la fin de ce Chapitre, nous nous proposons de dire quelques mots sur 1a décomposition d’un polyuOme ratigonol et entier quelconque en scs i'uctcurs premiers.

REGHERCnB DHIS RACINES INCOUMENSURABLES. 44H

si la détermination do leur forme est encore un problème à résoudre, il n’en est pas ainsi do la valeur numérique de chacune de ces racines, et il existe des méthodes pour les obtenir avec tout le degré d’approximation qu’on peut désirer.

Pour plus de simplicité, nous diviserons cette théorie on deux Parties : dans la premièrey nous supposerons que la proposée soit telle (\\\une seule racine réelle puisse être comprise entre deux nombres entiers consécutifs; et, dans la seconde y que deux nombres entiers consécutifs puissent comprendre plus d’une racine,

Preiwière Partie. — Cas oit une seule racine réelle peut être comprise entre deux nombres entiers consécutifs,

[Nous admettrons encore, dans tout ce qui va suivre, que l’on ait dtVterminé les limites -h Let — L', les plus resserrées possible, en employant, s’il y a lieu, la méthode des décompositions (308), ou, si cela est nécessaire, la méthode de Newton (309).]

327. Recherche de la partie entière. — Chacune des racines incommensurables étant nécessairement composée û'une partie entière (qui j)eut quelquefois être zéro) et éèune partie plus petite <pre V unité y le premier objet dont nous avons à nous occuper consiste à déterminer la partie entière de chaque racine.

Pour cela, on substitue à la place de x, dans Céf/uatioHy la suite naturelle des nombres o, i, a, 3,. . ., et — i, — a, — 3,. . ., compris entre et — \J. Gomme, entre deux nombres substitués, qui donnent deux résultats de signes contraires, il tombe au moins une racine (303), il s’ensuit que chaque couple de nombres qui donnent des résultats de signes contraires comprend une racine réelle y et ri en comprend qiCune seule y d’après l'hypothèse établie. D’ailleurs la partie entière de la racine est le plus petit des deux nombres qui la comprennent.

Or il peut arriver deux cas ; ou l’on obtient, par toutes ces substitutions, alliant de changements de signe (ou de couples de résultats de signes contraires) qiCil y a d^ unités dans le degré de Véquatioriy et alors on on conclut que toutes les racines sont réelles; ou bien le nombre des changements de signe est moindre que le degré de V équation y auquel cas il y a autant de racines réelles que de changements de signe, et les autres racines sont imaginaires.

Dans les deux cas, cette méthode do substitution fait connaître la partie entière de chaque racine réelle, et il reste à déterminer la partie plus petite que V unité.

Alg. D.