CHAPITRE VIII

MÉTHODE d’approximation DE LAGRANGE.

328. Soit X = O une équation dont les racines réelles ont rcs{>ectivcment une partie entière différente, que l’on suppose avoir été déjà déterminée.

Désignons par <7 et « -h i deux nombres entiers qui comprennent l’une d’elles : a exprime alors la partie entière de cette racine, dont il reste à chercher la partie plus petite que l’unité.

Pour cela, dans l’équation

X = O, ou ar"'-r- H- . . .-h Tj: -H V = O,

posons X = ; il en résulte la transformée

Peur obtenir cette transformée, on commence par remplacer x par fl -4- «, ce qui donne (2G2)

A -h A « -4 — «’ -H fl'" = O,

A désignant ce que devient X quand on y met a pour x et A', X", ... étant des polynômes dérivés de A, d’après la loi établie n® 262; puis on

remet j pour u, et l’on chasse les dénominateurs en j.

Désignons, pour abréger, par Y = o cette transformée, qui est de môme degré que la proposée, et a par conséquent m racines.

Or, puisque la relation x ~ a -h - doit donner toutes les valeurs de x

dès que l’on connaît les valeurs de j, et que, par hypothèse, a et a h- 1 comprennent une valeur de x et n’en comprennent qu’une seule, il faut nécessairement que, parmi les valeurs réelles de /, H y en ait une plus grande que i, et qu'il n'y en ait qu'une seule', autrement ce serait supposer que fl et A -h I comprennent plus d’une valeur de x.

Si donc, dans l’équation Y = o, on met successivement pour y les nombres entiers i, 2, 3,. à partir de l’unité, on est certain d’obtenir tôt ou tard un changement de signe; et les deux nombres qui auront produit ce changement de signe comprendront la valeur cherchée de y.

Soient ô et ô -4- 1 ces deux nombres; posons, dans Y = o, j = ô -4- j,;

il en résulte une transformée Y'= o (que l’on obtiendra par le moyen in-

HÊTBODE d'aPPROXIUATION DE LAGRANGE.

diqué ci-dosstis); et cette équation, parmi ses racines réelles, en aura encore une seule /iliis grande que i , que l’on mettra en évidence par la substitution dos nombres entiers i, 2, 3,. . . dans Y' = o.

Soient c et c + 1 les deux nombres entiers qui, ayant dû produire un cbangement de signe, comprennent la valeur de j'. On posera, dans l'équation V'= o, 7'= c -t- CD qui donnera la nouvelle transformée

Y'= O, ayant une seule racine plus grande que i.

Soient d et r/-i- 1 les deux nombres qui la comprennent; on posera

nouveau , dans Y " = o, = c/ -

et l'on continuera cette suite

do

do

transformations aussi loin que l'on voudra. Rapprochons maintenant les relations

il CD résulte

Or on sait que, dans une fraction continue, plus on prend do fractions intégrantes, plus on approche de la valeur du nombre qu’elle représente,

et le degré d’approximation est exprimé 174) par N étant le

dénominateur do la dernière réduite.

Ainsi la méthode qui vient d’être exposée donnera la valeur de x avec tel degré d’approximation que l’on voudra.

329. Appliquons la théorie précédente à l’équation (i) x' — bx — 3=0.

D’abord les limites supérieures des racines positives et des racines négatives sont, comme il est aisé de le voir, -e- 3 et — 2.

Soient mis successivement à la place de a-, dans l’équation, les nombres

on obtiendra les résultats

— I, -Hi, —3, —7, —5, -1-9;

et comme il y a trois changements de signe, il s’ensuit que l’équation a

CnAPITRE TIIl.

ses Irais racinos réelles, savoir i uni’ positive comprise entre i et 3, et deux négatives comprises respectivement entre o et — i , puis entre — i et — a.

Occupons-nous premièrement de la valeur positive.

Posons dans l’èquation (i)

il en résulte (328) une équation do la forme

dans laquelle on a

d’où, substituant et changeant tes signes,

Faisons, dans cette équation, / = i , a, 3,. . . , il vient, pour

donc la valeur cherchée de y est comprise entre a et 3. Posons dans l’équation (a)

il en résulte la transformée

dans laquelle

HËTBODE d'aPPROXIHATIOM de LACRAnCE. 4^3

d'où, substituant et changeant les signes

(3) y*-2Cr'’-A3/'‘-5 = o.

Comme cette équation revient à

il est visible que toute valeur plus petite que 26, substituée pour donnerait un résultat négatif.

Mais si l’on pose

7'=20, il en résulte — 6o3, et

X' == H7, il en résulte — io3;

donc J ' est compris entre 26 et 27.

Posant dans l’équation ( 3 )

on obtient la nouvelle transformée dans laquelle

d'où, substituant et changeant les signes ( 4 ) 6037” — 6537’’ - 527” — 1 = 0,

équation qui revient à celle-ci :

Comme et que

7’= I donne pour résultat — io3, 7' - 2 donne pour résultat -4-2107, il s’ensuit que 7' est compris entre i et 2.

En posant do nouveau