CHAPITRE T1II
on obtiendrait, tout calcul (iiit, pour la transformé (5) io3/”* — I i5C; " — 0o3 O,
ou bien
^"’(io3/'” - 45i) - I i5G/”- 6o3 = o.
Or il est facile de reconnaître que la valeur de r” est comprise entre 6 et 7; en sorte que, si i'on voulait continuer l'opération, il faudrait poser
Uais arrêtons-nous aux résultats déjà obtenus.
Les valeurs de j, y, y', y", y" donnent lieu à la fraction continue
aG -f
et, les réduites consécutives étant
il s'ensuit que la dernière c.xprimo la valeur de à moins d'une fraction près, marquée par ou
En réduisant en déimales, et poussant l’opération jusqu’aux
iooooo*~* inclusivement, on trouve a,49o8G, résultat qui est censé exprimer la valeur de x, à moins do 0,00001 près.
Cependant, comme celte valeur est trop faible pour deux raisons : o5i
1° parce que la réduite est de rang impair; a“ parce que a,4oo8G est
une fraction moindre que cette réduite, il serait possible que le dernier chiffre, 6, dût être augmenté d’une unité.
Mais si l’on substitue successivement a,4go86 cl 8,49087 dans la proposée, on trouve deux résultats do signes contraires. Ainsi 8,49086 représente en moins, à o,ouooi près, la racine positive de l’équation proposée.
Dkiü;. : by Googli
MÉTHODE d’approximation DE LAGRANGE. 4^5
Quant aux deux racines négatives, observons que, si l'on change x en — X dans l’équation (i), elle devient
et les racines positives de la nouvelle équation, prises avec le signe — , donnent les racines négatives do la proposée. Ainsi la question est ramenée à la recherche des racines positives de la transformée qu’on vient d’obtenir.
Or, on répétant sur cette transformée des calculs analogues aux précé-
dents, on trouve :
i' Pour la racine comprise entre o et i o, 65662 j
2° Pour la racine comprise entre i et 2 1,83424.
Donc, enfin, les trois racines de l’équation x'— 5x — 3 = o sont x=r 2,49086, X = — 0,65662, x = — 1,83424.
(On reconnaît, en effet, que la somme algébrique des trois racines est nulle; ce qui doit être, puisque le coefficient du second terme manque dans l'équation.)
330. Remarque. — En réfléchissant sur la méthode précédente, on voit qu’elle suppose essentiellement qu’entre les deux nombres entiers a et a -4- I, il no tombe une seule racine de la proposée, puisque, sans cette condition, on ne pourrait affirmer que chacune des transformées a une seule racine plus grande que l’unité, et que, par conséquent, la substitution des nombres 1, 2, 3,... à la place des dans ces transformées, doit produire tôt ou tard un changement de signe.
Cependant, lorsque l’on connaît d’avance le nombre des racines comprises entre n et a -1- i, il est possible que la méthode réussisse, (é^'oi'r le troisième exemple du n° 353.)
Supposons, pour fixer les idées, que a et a -t- 1 comprennent deux racines et n'en comprennent que deux. En substituant pour x, on
obtiendra une transformée qui aura deux racines plus grandes que l’unité, et n'en aura qtœ deux. Or, quand on mettra pour y la suite des nombres 1 , 2, 3,. . . , il pourra se présenter deux Circonstances :
Ou bien on n'obtiendra aucun changement de signe, et dans ce cas on ne pourra rien conclure, c’est-à-dire que la méthode sera alors en défaut, en ce sens qu’il faudra de nouvelles transformations pour opérer la séparation complète des racines ;
456 CHAPITHB VIII.
Ou bien cette substitution produira changements de signe; admettons, pour le moment, que les nombres n et n i , /.> et ^ i produisent respectivement ces changements de signe.
On posera d’abord dans la transformée
ce qui donnera une nouvelle transformée ayant une seule racine plus grande que l'unité, et sur laquelle on pourra opérer comme pn'icédemmenl; alors une première valeur de x sera exprimée |>ar une fraction continue de la forme
Posant ensuite, dans la même transformée en y,
on obtiendra une nouvelle transformée ayant une seule racine plus grande que l’unité, et sur laquelle on opérera encore comme précédemment ; la seconde valeur de x se présentera donc sous la forme d’une nouvelle fraction continue
ayant la même partie entière que la précédente, mais dont les fractions intégrantes seront différentes.
11 serait aisé d'étendre ces raisonnements au cas où l'on saurait d'a\’ance que a et a 1 comprennent trois racines réelles.... Mais ce que nous venons do dire suffit pour prouver qu’il n’y a d avantage bien réel dans l’emploi de la méthode de Lagrange qu’autant que a tA a + \ ne comprennent qu’une seule racine. Cependant nous exposerons plus loin (35i) un moyen général d'opérer la séparation des racines dans la pratique de cette méthode.
CONTERSIOK DES NOIIBRES IBRATIONRELS, ETC.
CoN^'EnSIOX EM FBACTIOM COMTINCE d’uM NOMBRE IRRATIONNEL
Ol’ELCONQUE.
331 . La méthode d’approximation par les fractions continues peut servir à évaluer les racines de degré quelconque des nombres.
Soit P un nombre absolu dont il faut extraire la racine
Si l’on pose 'y’P = x, il en résulte
Comme x=octx = P-)-i (30(5), substitués à la place de x dans celle équation, donnent doux résultats de signes contraires, il s’ensuit qu’elle a au moins une racine réelle positive. D’ailleurs elle ne présente qu’H«e variation de signe; donc, d’après la règle des signes de Descartes (313), elle a une seule racine réelle positive, que l’on peut obtenir approximativement par la méthode do Lagrange ; et l’on aura ainsi 'v'P sous la forme de fraction continue.
Soit, i>ar exemple, y 1 1 à évaluer en fraction continue.
Il suffit d’appliquer la méthode du n° 328 à l’é-quation
On trouvera successivement les relations
et, par suite, les réduites
dont la dernière, convertie en décimales, donne 2,224 à 0,001 près, jmisque l’on a évidemment - 0,001 (celte valeur est un i>eu trop
forte).
332. Nous indiquerons è cette occasion le moyen de développer toute espèce de nombre (absolu) on fraction continue. Ce moyen suppose seulement qu’on sache extraire d’un nombre donné la partie entière qui s’y trouve contenue.
Soient A le nombre proposé, a sa partie entière (qu’on est censé savoir trouver).
On a d’abord l égalité
458 CnAPITRB VIH.
(B étant > i); d'où l'on déduit
I = A-«, et
Soit b la partie entière de B ou do ^ ^ obtenue par on moyen quel-
conque ; on a la nouvelle égalité
(C étant > i) ; d’où
ri:.-
ou c =
JL — C — r
ou D =
et ainsi do suite.
Rapprochant actuellement les relations
on obtient Gnalement A sous la forme d’une fraction continue
ÎV. B. — ho procédé établi en Arithmétique (ICA) n’est qu’un cas particulier de cette méthode générale.
Soit à développer en fraction continue.
On a d’abord, en effectuant la division,
ce qui donne
bo
donc
donc enfin
d’où résulte la fraction continue demandée.
CONTERSION DES ^01IBRES IBnATlOîtNELS, ETC. 459
333. Lorsqu'on veut évaluer les radicaux du second degré par la méthode précédente, il faut faire us;ige des transformations exposées (91 ). Soit, par exemple, à évaluer ^ en fraction continue.
Il est d’abord évident que est compris entre a et 3.
Ainsi l’on a
^0 ou A = a-i-ÿ;
I=vÆ-a;
Pour obtenir la partie entière contenue dans B, multiplions (91 ) les deux termes de son expression par jÆ -r- a; il vient
Mais le numérateur de celleKsi est évidemment compris entre 4 et 5; donc B est lui-méme compris entre a et 3.
Ainsi il faut poser
d’où
ou B = a
Comme cette dernière expression est évidemment comprise entre 4 et 5, on (K>se
\/6 -t- a ou C = 4 |ji
d’où
Sans aller plus loin, observons que cette expression est identique avec celle do B; donc, puisque l'on a trouvé
B = a-+-j;) C=--4-i-ïj»
on obtiendra de même
D = a-t-£) E = 4-+-pi
et ainsi de suite.
Donc enfin
