CHAPITRE VIII

A partir de la troisième fraction intégrante, les dénominateurs so répètent ftérindujuemeni de deux on doux.

On trouverait, jar le mémo procédé,

Tous les nombres irralinnncts du second degré jouissent do cette propriété curieuse, do donner naissance à dos fractions continues iKriodir/ues; mais, pour cet objet, nous renverrons, soit à 1a Théorie tks nombres de Legendre, soit au tome 1" des Nouvelles Anmdes de Mathématiques, où M. Gérono en a donné une démonstration élémentaire.

La réciproque est vraie aussi, c’est-à-dire que toute fraetion continue périodique npjwrtient à un nombre irrationnel du second degré. Quant à cette seconde proposition, qui se démontre d'ailleurs fort simplement, elle n’est pas assez importante pour nous engager à prolonger davantage cette digression.

HÉTHODE d’approximation DE NEWTO.N.

334. La méthode suivante, duo à Newton, a l’avantage de fournir, en général, des approximations plus rapides que celle de Lagrange.

Pour en donner une première idée, reprenons l'équation

x’ — .“ix — 3 = 0,

et proposons-nous do déterminer la racine comprise entre i et 3.

Afin de resserrer davantage les limites do cette racine, posons, dans l’équation,

nous aurons pour résultat

MÉTHODE d’aITROXIMATION DE HBWTON.

d'ailleurs %, mis à la place de x, donne

4Ci

Ainsi la racine esl comprise entre 2 et 2,5.

Actuellement, si l’on fait attention quo le résultat de la substitution de a, 5 dilTèro beaucoup moins de zéro quo celui de la substitution do a, on doit présumer quo la racine est plus près do a, 5 quo do a.

On pose, en conséquence, dans l’équation.

et il vient pour résultat

Or a, 5 avait déjà donné pour résultat

+ o, laS ;

donc la racine est comprise entre a, 4 et a, 5.

En continuant ainsi de substituer des moyens termes, on parviendrait à resserrer de plus en plus les deux limites de la racine; mais lorsqu’une fois on a obtenu, comme dans ce cas, la valeur do x à moins de 0,1 près, on peut en approcher davantage par un autre moyen; et c’est en cela que consiste principalement la méthode de Newton.

Faisons, dans l’équation x* — 5x — 3 = o,

nous obtenons (262) la transformée

X'-i-y'tt-e

dans laquelle

Y'= 3(a,4)’— 5 = ia,a8,

L'équation en u, étant du troisième degré, ne peut être immédiatement résolue ; mais en transposant tous les termes, à l’exception du terme Y'«, et divisant les deux membres par Y', on peut la mettre sous la forme

Cela posé, puisque l’une des trois racines do cette équation doit être