Voici en quoi consiste la méthode générale

Soient p (Ap ■¥ \ deux nombres qui comprennent l’une des racines de l’équation X = o.

On commence par déterminer la valeur de celte racine à o, i près, en substituant une suite de nombres compris entre et -t- 1 , et continuant jusqu'à ce que deux de ces moyens termes ne diffèrent entre eux que de o , I .

Cela posé, appelant x' la valeur do x obtenue à o, i près, on pose, dans l’équation X = o,

ce qui donne la transformée

rié-i-, ..H- o,

qu'on peut écrire ainsi :

X' TJ ,

Comme, dans le second membre de cette équation, l’ensemble des termes X'

qui suivent — est ordinairement au-dessous de 0,01, on les néglige,

en calculant — yj- « 0,01 près, et l’on ajoute le résultat ci x' ; ce qui

donne une nouvelle valeur x*, approchée de x à 0,01 près.

Pour obtenir une troisième approximation, on pose, dans l’équation X = o,

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464 CSAFITRE TIII.

ce qui (Jonno la transformée

d'où

Ti «

Négligeant tous tes termes — - .

. — ÿi u'" (dont rcnscmble est

supposé moindre que o,oooi), on cateulc — ÿî en poussant Voisératirn

jus<iu'aux 1 0000“"", et l 'on ajoute le résultat à j:" ; ce qui donne une troi sièmo valeur x" approchée à 0,0001 près.

Pour avoir une nouvelle approximation, on remplace x par x"-!- «" dans la pro/xysée.

On calcule l'expression — qui résulte de cette transformation, et

l'on /musse l'o/iération jusqu'au huitième chijfre décimal inclusiecmcnt, puis on ajoute ce résultat à x" ; et ainsi de suite.

On répète cette série d’opérations pour chacune dos racines positives. Quant aux racines négatives, on ramène (329) leur recherche à celle des racines positives, en changeant x en — x dans la proposée.

33G. Première remarque. — La méthode précédente est fondée sur ce oue, dans la transformée

qui revient à

on peut négliger tous les termes aiïectés de u’, /P, «*, . . . , sans erreur sensible sur les loo*'”" à la première opération, sur les ioooo‘^~' à la seconde, etc.; hypothèse qui s’appuie elle-même sur ce que, d'après la nature des polynômes dérivés Y', Z', V', . .., les coefficients

sont ordinairement des fractions ; mais cette méthode est quelquefois en défaut, ainsi que Lagrange le prouve dans son Traité de la résolution des équations numériques (*).

(*) C’est surtout pour les racioee comprises entre o et i, ou entre o et ~ i»

MÉTHOÜB D*APPROXIl!ATION DE NEWTON. 4^^

On a toutefois un moyen de s’assurer, à la fin de chaque opération, si la méthode a donné le degré d’approximation que l’on croyait devoir obtenir. Par exemple, pour reconnaître si 2,4908 exprime la racine positive de 5x — 3 = 0,0001 près, on substitue, dans cette équation, 2, 4908,

puis 2,4909 ou 2,4907, suivant que le résultat de la substitution de 2,4908 est de signe contraire au résultat de la substitution do 3 ou à celui de la substitution de 2 ; et si les deux nombres 2 , 4908 et 2 , 4909, ou bien 2 , 4908 et 2,4907, donnent deux résultats de signes contraires, nul doute que 2,4908 ne soit une valeur exacte à 0,0001 près, soit en moins, soit en plus. S’il n’en est pas ainsi, on augmente ou Ton diminue le dernier chiffre d’une ou do plusieurs unités (de l’ordre des dix millièmes) y jusqu'à ce que l’on obtienne deux nombres qui, par leur substitution, donnent deux résultats do signes contraires.

337. Seconde remarque. — Il y a aussi des cas où, dès la première

opération , il est nécessaire de calculer la quantité — ÿj jusqu’aux

1000'''"", et môme jusqu’aux loooo'^".

Soit l’équation

dont, ainsi qu’il est aisé do s’en assurer, l’une des racines est comprise entre 2 et 3; quant aux deux autres, elles sont imaginaires {comme nous le verrons au n“ 342, deuxième exemple).

On reconnaîtra d’abord facilement, par la substitution des moyens termes, que la racine réelle est comprise entre 2,9 et 3.

Maintenant faisons, dans l’équation,

il en résulte la transformée

dans laquelle

que la méthode peut être on défaut, ainsi qu’on peut s’en assurer en réfléchissant sur la composition des quantités Y', V,,.,.

Alg. B 3o

466 CHAFITBE Tlll.

Négligeant les termes en u' et on a

X' 0,01 1 II ~ Y' ~ 19, i3 19230

Or, si l'on réduit cette expression en fraction décimale, on trouve des zéros |)our les trois premiers cliilTres décimaux, et 5 pour le quatrième cliilTro; c'est-à-dire que l’on a « = o,ooo5 (en tenant compte des quatre premiers cliüTres décimaux) : ce qui donne, pour la valeur de x,

X =: 2,goo5.

Pour vérifier cette valeur, il faut substituer a,goo5 dans la proposée : on trouve — o,ooi38, résultat do signe contraire à celui que donne x = 3^ mais, en substituantx = 2,9006, on obtient -r- o,ooo54, qui est de signe contraire à — o,ooi38. Donc 2,9005 exprime la valeur do x à 0,0001 près (♦).

338. Rapprochement ifes {ieiij: met /loties . — La méthode d'approximation de Lagrange, quoique en général moins expéditive que celle de Nevv ton, a sur celle-ci l'avantage de donner à chaque opération une approximation toujours certaine.

On pourrait môme, à la rigueur, trouver, par la méthode de Lagrange, les racines commensurables. La fraction continue que l’on obtiendrait serait alors composée d’un nombre limité de fractions intégrantes ; c’est-àdire que, en continuant convenablement les opérations, on parviendrait à une éipiation V(,)= o, dont la racine positive, plus grande que 1, serait égale à un nombre entier ; et, toutes les réduites consécutives étant formées, la dernière représenterait la vraie valeur do la racine commensurable.

Ce moyen est sans contredit moins simple que la méthode expo.sée au n° 3iO; mais c’est lo seul que l’on pùt employer si l’on supposait que quelques-uns des coefficients fussent irrationnels; car la méthode ordinaire n’est applicable qu’aux équations dont tous les coefficients sont des nombres commensurables.

La méthode de Newton ne pourrait pas donner ces mômes racines exactement, puisque, d’après sa nature, on n’obtient les valeurs numériques des racines que sous la forme de fractions décimales.

Nous observerons toutefois que l’application simultanée des deux méthodes à une môme équation peut abréger beaucoup les calculs. Ainsi, par exemple, après avoir d’abord employé la méthode des fractions continues pour obtenir chacune des racines à o, i et même à 0,01 près, rien n’em-

/ oir la Kolc VU à la fin du X'olumo.

COMPLÊnENT DB LA. THÉORIE DES RACINES, ETC. 4^7

pécho d’avoir recours à la méthode de New ton pour obtenir un plus grand degré d’approximation.

La méthode de Newton suppose, en général, comme celle do Lagrange (330), que /? et i no comprennent qu’une seule racine de l’équation.

Seconde Partie. — Cas où dhux nombres entiers consécutifs peuvent comprendre plus d*une racine réelle.

339. Lorsque, par la substitution des nombres entiers consécutifs compris entre les limites -+- L et — L', on obtient autant de changements de signe qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation, il est clair que toutes les racines de Véquation sont réelles, et (jue chacune d’elles a une partie entière différente.

Mais si le nombre des changements de signe est moindre que le degré de la proposée, cela peut provenir, ou de ce que l’équation a des racines réelles et des racines imaginaires, ou bien do ce que plusieurs racines incommensurables sont' comprises entre deux nombres entiers consécutifs. En effet, on a vu (30i) que deux nombres qui, substitués dans le premier membre d’une équation, donnent des résultats de signes contraires, peuvent comprendre un nombre impair quelconque do racines réelles, et que deux nombres qui donnent des résultats de môme signe peuvent en comprendre un nombre pair quelconque.

Par exemple, si une équation devait avoir deux racines, \/2 et par exemple, lesquelles sont comprises entre i et *a, il arriverait que i et 2, substitués dans la proposée, donneraient des résultats de môme signe.

Pareillement, qu’une équation ait trois racines, /TT» com-

prises entre 3 et 4, ces deux derniers nombres substitués donneraient des résultats de signes différents.

On voit donc que la méthode de substitution des nombres entiers consécutifs serait, dans ce cas, insuffisante pour mettre en évidence toutes les racines réelles de la proposée, et qu’elle aurait l’inconvénient de laisser échapper quelques racines.

340. Cet inconvénient disparaîtrait si l’on pouvait déterminer a priori une quantité nuip.ériquement moindre fpie la plus petite des différences qui existent entre deux quelconques dos racines réelles d’une équation proposée ; c<ir soit mise la quantité ^ pour intervalle entre deux nombres successivement substitués; il est évident que si deux pareils nombres donnaient des résultats do signes centraires, ils comprendraient une racine et n’en comprendraient qu’une ; et que s’ils donnaient des résultats do môme signe, ils no comprendraient aucune racine. Ainsi le nombre des racines réelles de Véquation serait égal au nombre des changements de signe obtenus par les substitutions.