CHAPITRE TIII
Voyons donc s’il n’y aurait pas quelque moyen de déterminer la i|uanlité ô. Or cela est facile au moyen de l’équation niix carrés de différences.
En effet, désignons par X = o l'équation proposée, et par Z = o l’équalion aux carrés des différences, é^juation que nous avons appris à former (273 et 237 ).
Remarquons d’abord que, le carré do la différence entre deux racines réelles quelconques de la proposée étant /msilif, on ne doit chercher les carrés des différences entre les racines réelles que parmi les racines positives de l’équalion Z — o. (Ses racines négatives correspondent aux différences qui existent dans la proposée, soit entre deux racines imaginaires, soit entre une racine réelle et une racine imaginaire.) Donc, si l’on cherche la limite inférieure des racines positives de l’équation Z = o, et qu'on en extraye la racine carrée, on sera certain d’avoir une quantité numéri(|uement moindre que la plus petite des différences qui existent entre deux racines réelles de la proposée, c’est-à-dire la quantité cherchée S.
Pour obtenir cette limite, il faut (310) poser * = ^ dans Z = o, ce qui donne la transformée V ^ o. Soit l la limite supérieure des racines positives de V = o ; -, sera la limite inférieure de Z = o. Ainsi -4 est la ‘ y//
quantité ê qu’il s’agissait do déterminer.
Lors(]uc en recherchant la limite / la | lus resserrée possible, soit par la méthode de Newton (300), soit par celle des décompositions (308), on trouve
l éi, il en résulte -'= ou « ' i;
et cela indique que la différence entre deux rncines réelles quelconques est ]dus grande que l’unité. Dès lors on est certain que le nombre des racines réelles de la proposée est égal au nombre do changements de signe qu’on avait d’abord obtenu par la substitution des nombres entiers consécutifs.
Mais ordinairement on trouve
/ 'i, d’où ou 3 Ci.
Dans ce cas, comme ^1 est, en général, incommensurable, il convient de remplacer y// par le nombre entier k immédiatement supérieur; ce qui donne j < • i et, à plus forte raison, j moindre qui la plus petite des
” y / ri
COMPLÉMENT DE LA TnÉORIE DES RACINES, ETC. diflérences entre le* racines rt^elles. On pourrait donc mettre ^ pour intervalle entre deux substitutions consi’?cutives; c’est-à-dire que, en substituant dans X = O la suite des nombres °i J’ ‘ ‘ i-e • • • > a ,
a . jusqu’à L, et o, — 71 — 7, • • • , — 1 jusqu’à — L', on ob- A k k
tiendrait auhmt de changements de signe que l’équation doit avoir de racines réelles.
Mais on peut encore éviter la substitution de nombres fractionnaires par la transformation suivante :
Posons, dans l'équation.
il en résulte ( 263) une équation dont les racines sont X fois plus grandes que celles de la proposée. Par consé<iuent les dittérences entre ces nouvelles racines sont elles-mêmes X fois plus grandes que les diiiérences Correspondantes entre les racines de la propo.sée; en sorte que, si [a — b) désigne la plus petite des ditférence.s relatives à X = o, comme on avait
(n — é) > ^ , il en résulte Xn — kb 1.
Ainsi la nouvelle équation Y = o est telle que les différences entre toutes ses racines réelles, considérées deux à deux, sont plus grandes que l’unité.
Donc, enfin, si l’on substitue dans cette équation la suite naturelle des nombres o, 1,2, 3,. . . et — i, — 2, — 3,. . ., compris entre les deux limites, on obtiendra autant de changements de signe que l'équation Y = o aura de racines réelles.
(Les deux limites de Y = o sont d’ailleurs -f- X L et — XI,', -t- I, et — L' désignant celles do X = o.)
3 il. Résumons ce qui vient d’étro dit :
Pour mettre en évidence toutes les racines réelles incommensurables d'une équation X = o, il faut :
i” Former !’ équation aux carrés fies différences, Z = o;
2” Déterminer la limite inférieure ÿ des racines positives de cette der-
nière équation. (Si l’on trouve ÿ > c'est une preuve que la différence entre deux racines réelles quelconques de la proposée est aussi plus grande
CBAPITM Yin.
que l’iinitô; d;>s lors la subslitulion des nombres entiers consécutifs dans la proposée suffit pour mettre toutes les racines réelles en évidence.)
3° Dans le cas général de j ' i , remplacer ^ P®*" 7
bre entier immédiatement supérieur à y/7), et poser ^ = j ^
posée, ce qui donne une équation Y = o, dont on recherche toutes les racines réelles, d’après la méthode exposée dans la première partie de ce paragraphe. ^
4“ Enfin substituer successivement ces xwleurs dans la relation x =
On obtient ainsi toutes les racines réelles de la proposée.
N. B. — Observons que si, pour mettre toutes les racines réelles de X = O en évidence, on a été obligé de la transformer en une autre dont les racines soient /• fois plus grandes que celles de la proposée, ces dernières sont déjà obtenues à une fraction près j - Cela résulte évidemment y
de la relation ^ — 'j'
