CHAPITRE VIII

et pour l’i^quation 8x*— 6j — i o,

or = 0,9397, x=— 0,1737, x=— o,7GGo.

Ces valeurs sont exacles à 0,0001 près.

Prenons pour autre exemple l'équation

a:’ — Go: — 7 = O,

pour laquelle la substitution des nombres entiers consécutifs, compris entre les limites — 3 et -t- 3, ne donne lieu qu’à un seul changement de signe.

On a obtenu (299, deuxième exemple), pour l'équation aux carrés des différences,

Z* — 3Gz'-i- 3a4ï -t- 45g = o.

Soit posé Z = jj il en résulte la tran.sforméc

Or il est évident, d’après son insi»ction, que la limite supérieure l des

racines positives est < 1, d’où l’on déduit “ > i. Ainsi les différences

entre les racines réelles de la proposée sont (3 10) toutes plus grandes que l’unité. Donc, puisqu’elle ne donne lieu qu’à un seul changement do signe, on est en droit de conclure que la racine positive est la seule racine réelle qu’elle renferme.

313. Première remarque. — I.a méthode exposée au n" 3il pour mettre en évidence les racines incommensurables, lorsque plusieurs racines ]h'uvent être comprises entre doux nombres entiers consécutifs, ne saurait être appliquée aux équations qui ont dos racines égales.

En effet, supposons qu’une équation ait deux racines réelles égales à a\ comme ces deux racines no forment qu’un seul et mémo nombre, elles sont nécessairement comprises entre deux des nombres substitués, quelque petite que soit leur différence. Ainsi ces nombres, qui comprennent deux racines, devront (301) donner deux résultats de même signe, aussi bien que doux nombres qui n’en comprendraient pas. Si l'équation fMjuvait avoir trois racines égales à a, les deux nombres qui les comprendraient donneraient deux résultats de signes contraires, aussi bien que deux nambres qui comprendraient une seule fois cette racine.

Observons d'ailleurs que, l’équation X = o ayant des racines égales, l'équation aux carrés des différences, Z = o, aurait nécessairement des

Digilized by GoOglc

COHPLtHENT DE LA TDfiOBIE DES RACIKES, ETC. 4^3

racines 6;;nles à zéro ; et alors la limite inférieure des racines positives de cette dernière équation serait zéro : c’est-è-dire qu'il faudrait mettre un intervalle nul entre deux substitutions, ce qui est absurde.

Concluons de là que, avant d'appliquer la méthode du n" 311, il est nécessaire de débarrasser la proposée des racines égales qu'elle peut avoir. { foir n° 281 .)

3 U. Seconde remarque. — Quand l'équation proposée est du troisième, du quatrième ou du cinquième degré, et qu'elle a ses coefficients commensurables, il est inutile de lui appliquer la méthode des racines égales.

En eiïot, il résulte d'abord de la nature de cette méthode, laquelle consiste essentiellement dans la recherche du plus grand commun diviseur entre le premier membre de la proposée et son dérivé, qu'elle no peut conduire qu’à un polynéme diviseur, dont les coefficients sont rationnels comme ceux de l'équation elle-même.

Cela post^, dans le cas où l'équation est du troisième degré, le commun diviseur (s'il en existe) est du premier ou du deuxième degré au plus. S'il est du premier degré, en l'égalant à zéro, on ne peut tirer de l'équation résultante qu'une racine commensurable. S'il est du deuxième degré, le quotient du polynôme proposé, par ce diviseur, est du premier degré, et no saurait encore donner qu'une racine commensurable. On voit donc qu’nnc équation du troisième degré dont les coefficients sont rationnels, et qui n’a /sas de racines commensurahlcs, ne saurait avoir de racines égales.

Si l'é<piation est du quatrième degré, le plus grand commun diviseur (s'il en existe) entre le premier membre et son polynôme dérivé, ne peut être ni du premier ni du troisième degré; car, dans un cas comme dans l'autre, on en déduirait que l'équation a des racines commensurables, ce qui serait contre l'hypothèse; et s'il est du deuxième degré, les facteurs de ce polynôme diviseur ne sauraient être égaux, puisqu'il en résulterait encore que l'équation aurait des racines commensurables. Mais si les deux facteurs sont inégaux, il en résulte nécessairement (277) que chacun deux entre au carré dans le polynôme proposé, qui est alors un carré [tarfait.

Ainsi, dans ce cas, au lieu de soumettre l'équation à la méthode des racines égales, on peut se borner à extraire la racine carrée de son premier membre-, et si la racine n'est pas exacte, on en conclut que l'équation n’a pas de racines égales.

Enfin toute équation du cinquième degré qui n'a [«s do racines commensurables ne peut avoir de racines égales; car i" elle no saurait admettre une seule espèee de racines égales; a" si clic deux espèces

différentes, il faudrait nécessairement que la proposée admît une racine commensurable

474 CHAPITBB VIU.

Donc, cnQn, il est inutile d’appliquer la méthode ordinaire des racines égales aux équations des troisième, quatrième et cinquième degrés.

345. Troisième remarque. — Ce qui précède suffit pour faire sentir combien l’application de la méthode du n“ 3 il est laborieuse, puisquelle suppose, outre la recherche des racines égales, la formation do 1 équation aux carrés des dijfèrcnccs. Or, dès que la proposée est d un degré supérieur au quatrième, les calculs relatifs à la détermination do celle dernière équation sont imprabcables par leur longueur. 11 est donc à propos de faire connaître quelques circonstances dans lesquelles on peut éviter tous ces calculs.

i“ Si, en substituant les nombres o, i , a, . . . , — i , — a, — 3, ... , compris entre -i- L et — L', on obtient autant de changemenU de signe qu’il y a d’unités dans le degré de la proposée, on est certain que toutes les racines de l'équation sont réelles, et que chacune d’elles a une partie entière différente.

a° 11 peut se faire que, sans connaître les racines d’une équation, on sache à priori combien elle doit avoir de racines réelles (la Trigonométrie en offre des exemples ) (*). Cela posé, il se présente deux cas ;

Ou la substitution des nombres o, i , a, . . . , — i , — a, . . . donne lieu à autant de changements de signe que l’équation a de racines réelles; dans ce cas, toutes les racines réelles sont encore mises on évidence, et chacune d’elles a une partie entière différente ;

Ou bien le nombre des changements de signe est moindre que celui des racines réelles. Comme, dans ce cas, on est assuré d’avoir laissé échapper quelques racines dont les différences sont moindres que l’unité, il faut tècber de rendre ces différences plus grandes. Pour cela, on fait dans la

proposée x = h étant une indéterminée, ce qui donne la transformée

Y = o, dont les racines sont k fois plus grandes que celles de la proposée (il en est, par conséquent, de même des différences). On donne ensuite à k diverses valeurs. Soit, on premier lieu, A = 3; substituant dans Y = o la série naturelle des nombres, on voit si le nombre des changements de signe devient égal au nombre des racines réelles que l’on sait devoir exister dans la proposée. Si l’hypolhèse 4 = 3 ne réussit pas, on fait k — 4, 5,..., jusqu’à CO qu'enfin on obtienne pour la transformée correspondante le nombre de changements de signe exigé.

(•) Voir mon Traité de Géométrie anaîrtique pour la| détermination, par dea intersections de courbes, du nombre des racines réelles qu’une équation peut renfermer.

TDtORtME SI M. STURW. 4?5

N. B. — Il faut bien observer ici qu'on suppose l’équation dépourvue de racines égales.

TnéoRÈMB DB H. 8TUBM.

Son application à la recherche des racines incommensurables

C’csl ici lo lieu de faire connaître un fort beau théorème à l’aido duquel toutes les racines incommensurables d’une équation peuvent être mises en évidence bien plus simplement qu’avec le secours de l’Apiation aui différences.

Nous venons de voir ( 345, a") que, si l’on connaissait a priori le nombre des racines réelles d’une équation, on parviendrait aisément à leur détermination, puisqu’il suffirait alors de subdiviser convenablement l'intervalle des substitutions successives. Or le théorème de M. Sturm atteint complètement ce but, ainsi qu’on va le voir.

346. Soit X = O une équation à coefficients réels, que nous supposerons n’avoir pas de racines égales. Appelons X, son premier polynôme dérivé, et appliquons à X, X, le procédé du plus grand commun diviseur relatif (246, 269), avec cette condition, toutefois, de changer le signe du reste de chaque o/iération, et de prendre ce reste ainsi modifié pour diciscur de l’opération suivante. (Ce changement de signe est une condition essentielle dans l’énoncé et la démonstration du théorème.)

Désignons d’ailleurs par X„ Xj, X,, . . ., X, les restes successifs, pris avec des signes contraires.

Nous pourrons exprimer la série complète des opérations par le tableau suivant :

X, est nécessairement indépendant do x et différent de zéro, puisque, par hypothèse, l'équation n'a pas do racines égales.

Considérons maintenant les fonctions X, X,, X,, . . ., X,, et supposons que l’on y substitue pour x deux nombres et 7 de signes quelconques {p étant <7). D’abord la substitution de p donnera pour chaque fonction un résultat généralement positif ou négatif (mais qui pourra quelquefois être nui) ; et en ne tenant compte que des signes de ces résultats, on obtiendra une suite de signes qui, écrits sur une même ligne, présenteront une certaine succession de variations et de permanences.

CniPITRB TIII.

Pareillpmpnt, la subslilution de </ à la place de x donnera une seconde suite de siijncs présentant de même une certaine succession de variations et de permanences.

Or le théorème en question consiste en ce que ;

La difîérence entre le nombre des variations qiCojfre la première suite de signes, et le nombre des variations de la seeonde, exprime exaelement le nombre des racines réelles de la proposée, i/tti se trouvent comprises entre p et q.

3i7. Do 1^ résulte la rè.qle suivante, }X)ur obtenir le nombre total des racines réelles d'une équation.

Après avoir déterminé (310) les limites — L' et -t- L des racines négatives et positives,

1° On applique aux deux jtolyn6mcs X, X, le procédé du plus grand commun diviseur avec la motlijicatiun indiquée dans le numéro précédent. Cela donne une série de fonctions X, X,, X,. . . . , X„ qui sont généralement au nombre de [m -s i), m étant le degré de l'équation.

2° On écrit sur une première ligne les signes tics résultats de la substitution de — L' dans ehaeune des fonctions, et, sur une seconde ligne, les signes des résultats de la substitution de -t- L. (Le signe de X,. doit rester le même, puisque X, est indépendant do x.)

3° On compte le nombre de variations qu’offre la première ligne et le nombre de variations de la seconde. lai différence entre ces deux nombres est l'expression du nombre total des racines réelles de la proposée.

Cette règle est d'un usage facile dès que l'on connaît les fonctions X, X,, Xj,. . .; et si les opérations néressaires à leur détermination sont un peu laborieuses, on n’en doit rien conclure contre la simplicité de la règle; car il y a (sauf les changements de signe indiqués) identité entre ces 0[)érations et celles que comporte la méthode des racines égales, méthode è laquelle il faut soumettre préalablement toute équation dont on recherche les racines incommensurables.

31S. La démonstration du théorème ci-dessus repose sur plusieurs princi[>es que nous allons d'abord établir.

Premièr. ment. — Considérons la fonction X en particulier, et soit a une racine réelle do X = o. Si l’on met o -t- u à la place de x, dans X, on obtient (328) un résultat de la furnio

(A élant le résultat de la substitution de a pour jr dans X, et A', A", A",. . . les polynômes dérivés de A d’après la loi connue).

TUfiüBÈHB DB M. STUR». 477

Comme, par hypothèse, a est racine do j = o, on a A = o, cirexprcjsion précédente se réduit à

Or je dis qu'on peut toujours trouver pour u un nombre assez petit pour que la quantité entre parenthèses soit de même signe que son premier terme A' (qui d’ailleurs est différent de zéro tant que X = o n’a pas de racines égales).

Il suffit, en effet, pour cela d’obtenir pour a une valeur qui rende

Y “ -t- • numériquement moindre que A’. Or nous avons vu

(303) comment on remplit cette dernière condition; ainsi il est toujours possible de satisfaire à la précédente.

Il est on outre évident que, dès qu’on a obtenu pour l’indéterminée u une valeur remplissant cette condition, toute valeur plus petite y satisfait à plus forte raison.

3i0. Deujriimcment. — Si l’on conçoit que, dans les fonctions X, X,, X„ . . . , on remplace x par un nombre quelconque o, il ne peut jnmais arriver que deux fonctions consécutives s'évanouissent à la fois.

En effet, considérons les trois fonctions consécutives de rang quelconque

On a (310) l’égalité

Or, si l’on pouvait avoir à la fois X,, = o, X„= o, on en déduirait X.,. = o;

mais, comme on a aussi

il en résulterait encore X,^, = o; et ainsi de suite. On parviendrait alors finalement à l’égalité X, = o; ce qui est absurde, puisque, la proimsée n’ayant pas de racines égales, X, ne saurait être nul.

Troisièmement . — La même relation X,., — X,iy, — X,^, nous apprend que, si une fonction X. devient nulle par la substitution de x = a, les deux fonctions X,,, X,^„ entre lesquelles elle est placée, sont nécessairement lie signes eontraires pour la même valeur x = a.

350. Ces principes admis, désignons par k une quantité positive ou négative, mais moindre (c’est-ù-dire plus rapprochée de Xinfini négatif) que

CaAPlTRB VIH.

toutes les racines réelles des équations X = o, X, = o, X,= o, . . X^, = o; et concevons que, en faisant crotlre x d’une manière continue (303) à partir do k, on substitue toutes ces valeurs successives dans les fonctions X, X,, X,, . . . , X,.

11 est d’abord facile de voir que les variations et les permanences fournies par 1rs signes de ces fonctions et celui do X, (que nous savons déjà être constants) se reproduiront toutes et dans le même ordre, tant que X n’aura pas atteint une des valeurs qui rendent nulle quelqu'une de ces fonctions ; car, pour que le nombre ou l’ordre de ces variations et permanences vienne à se modifier, il faudra évidemment que l’une des fonctions, X, par exemple, change de signe, et, par conséquent (303), que X, soit d’abord devenu nul.

Supppsons actuellement qu’une valeur x-= a rende nulle une ou plusieurs des fonctions ( U étant d’ailleurs le plus petit des nombres qui jouissent de cette propriété), et voyons ce qui doit arriver.

Il peut se présenter deux circonstances : ou x = o anéantira une (ou plusieurs) des fonctions intermédiaires X,, X,, Xj,..., X,,, sans faire évanouir X, ou bien x = o anéantira X, pouvant d’ailleurs rendre aussi nulle une ou plusieurs des fonctions intermédiaires. Or je dis que, dans le premier cas, aucune variation ne disparaîtra dans le passage de x par les trois états consécutifs a — u, a, a -h u (n étant l’intervalle des substitutions successives); que, dans le second, une variation disparaîtra, et qu’il n’en disparaîtra qu’une seule si u est suffisamment petit.

Considérons le premier cas, celui où la fonction X,, par exemple, devient nulle pour X = a, sans que X le soit en même temps.

Comme, pour la même valeur x = a, X,, et X„, no peuvent devenir nulles, et ((u’elles sont de signes contraires (349), il s’ensuit que les trois fonctions consécutives