X XX

formeront, quant aux signes, l’une des deux combinaisons o, — , ou — , o, -I- ;

et soit qu’on prenne zéro avec le signe -h ou avec le signe — ,on voit qu’il en résulle une variation et une permanence.

D’un autre côté, chacune des fonctions X„,, X,^, a dû conserver le même signe pour les valeurs de x comprises depuis x — k jusqu’à x = a ; et les signes ne doivent pas changer dans le passage dex=:nàx=<i-i-«, puisqu’on peut toujours supposer « assez petit pour qu’aucune racine de X,, = o, = o ne soit comprise entre o et <r -t- u.

ün peut donc affirmer que les trois fonctions ci-dessus, qui, pour x = a.

Digiii;. 'iy GoOglc

THÉOBfeME DE I. STUEV. 4*9

présentent une variation et une permanence, donnent également une variation et une permanence pour toutes les valeurs comprises depuis x=za jusqu’à X = a -t- U. Ainsi l’hypothèse x = a, introduite dans la série des fonctions X, X,, X, , n’a fait perdre ni gagner aucune variation.

3S1 . Passons au cas oh X devient nul quand on y met a pour x.

Soit fait X = a -I- H dans X et X, ; puis désignons par U, U, ce que deviennent respectivement X, X, par celle substitution. Appelons (348) A, A', A',. . . les résultats de la substitution de a pour x dans X et scs polynômes dérivés, puis, par analogie, A„ A',, A',,.. . ce que deviennent X, et ses polynômes dérivés, par la môme substitution, nous aurons les deux égalités

Comme, par hypothèse, a est racine de X = o, on a nécessairement A = O. De plus, les deux quantités A' et A,, exprimant l'une et l’autre le résultat de la substitution de a pour x dans X,, n’en forment qu’une seule qui est différente de zéro, puisque X = o n’a pas de racines égales. Ainsi les doux égalités précédentes se changent en celles-ci

dont les seconds membres sont nécessairement de môme signe que leurs premiers termes A'« et A', lorsqu’on prend (348) pour l’indéterminée u une valeur suflisammenl petite. On voit donc que U et U, sont de même signe quand « est positif, et de signes contraires quand u est négatif.

D'où il résulte que les signes des deux fonctions X, X,, qui présentaient d’abord une variation pour x — a — u, formaient ensuite une permanence pour X — a u.

Ainsi, dans le passage de x = « — « à x = a -e «, une variation changée en une permanence.

La mémo conséquence aurait lieu lors même que x = a, qui satisfait à X = o, anéantirait en môme temps une ou plusieurs autres fonctions, puisque, comme on l'a vu précédemment, quand une do ces autres fonctions vient à s'évanouir, le nombre des variations ne change jms pour cela.

Maintenant, si, à partir de x = <i u, on continue de faire croître x par degrés insensibles, le nombre actuel dus variations de la suite des

CnAPlTRB ?lll.

signes denaeurera le même jusqu’à ce que x vienne à dépasser une nouvelle racine de X = o; auquel cas une seconde variation disparaîtra, et se trouvera remplacée par une permanence ; et ainsi de suite.

Donc, enfin, le nombre des x>ariatinns perdues lorsque .r croît depuis une valeur quelconque k jusqu’à une autre valeur k' est égal au nombre des racines réelles de X = o, comprises entre k et k\

Ce qui démontre évidemment le théorème énoncé n“ 3i6.

3Î)2. Avant do passer aux applications, nous ferons plusieurs remarques fort importantes.

I® Dans la recherche dos fonctions X, X,,. . . , on peut introduire ou supprimer des facteurs numériques (259), pourvu que ces facteurs soient positifs; mais il faut bien prendre garde, quant aux signes, à ne faire que les changements indiqués au n** 346, puisque c’est do la considération des signes dont les fonctions X, X,, X,,... sont affectées que dépend principalement la démonstration du théorème de M. Sturm.

a® Quand on veut simplement connaître le nombre total des racines réelles de l’équation proposée, il n’est pas nécessaire d’opérer la substitution dos limites — L' et L dans les fonctions X, X, , ... ; il suffit do substituer — oo et -f- oo dans le premier terme de chacune d’elles, puisque l’on sait (305) que le signe de la fonction est alors le même que le signe de ce premier terme.

La substitution de — » et de oo dispense de déterminer d’abord les deux limites — L' et L, qu'il faudrait d’ailleurs calculer de manière qu’elles convinssent à toutes les fonctions, si l’on no voulait opérer la substitution que dans leur premier terme.

Nous ajouterons même que, en faisant usage de la méthode do M. Sturm, on n’a besoin, dans aucun cas, de connaître a priori les deux limites — L' et -+■ L. En effet, après avoir reconnu d’abord combien il y a do racines réelles dans la proposée, si l’on veut ensuite déterminer d’une manière plus précise le lieu des racines, il n’y a qu’à substituer successivement les nombres o, i, a, 3,. . ., et o, — i, — 2,. . et dès que, par la substitution de o, I, 2, . . . , on est parvenu à une suite de signes qui présente autant de variations qu’en avait données la substitution de -h 00 , on peut affirmer qu51 n’y a plus de racines au delà du dernier nombre substitué. Môme raisonnement par rapport aux nombres o, — i , — 2,. . . ,

On obtient ainsi les deux limites supérieures les plus resserrées (en nombres entiers); ce que ne donne pas toujours d’une manière ^ien certaine (309) la méthode de Newton, mal appliquée.

3° Si l’on cherche ensuite combien il y a de racines réelles comprises entre deux nombres particuliers p et <7, il peut se faire que p ou q rende

APPLICATIOSS Bü THÉORÈHB DE H. STLHM. 48»

mtUe quelqu’une des functions. Dans ce cas, quand c’est une fonction intermédiaire, X„ qui s'évanouit, on n’a pas besoin de tenir compte du résultat O dans la suite des signes, car on a vu (3i9) que X,,, X„^, offrent une variation pour cette même valeur de x; or la combinaison du double signe rt dont o est censé affecté, avec les signes h — , ou — i-, ne donne encore qu’une variation. Ainsi le nombre des variations n'est nullement altéré par l’omission du résultat o.

Lorsque c’est X qui s’évanouit pour x = p, par exemple, on conclut d’abord que p est racine de X = o ; puis on compte les variations qui existent à partir de X,.

4° Enfin si, après avoir obtenu les fonctions X, X,, X,,..., X„ on vient à reconnaître que l’une des fonctions intermédiaires, X,, est de nature à conserver constamment le même signe pour toutes les valeurs comprises entre ;> et </ (p étant <7), il est inutile de substituer ces nombres dans les fonctions suivantes ; car la suite des fonctions

jusqu’à X, inclusivement présentera de variations de plus pour x = p que pour x — q, autant U y aura de racines réelles comprises entre petq.

Il suffit, pour s’en convaincre, d’appliquer aux fonctions X, X,, X„ . . . , X, ce qui a été dit (3S0, 351) par rapport à toutes les fonctions. La suite des signes, jusqu’à celui de X^ inclusivement, perdant une variation pour chaque racine de X = o, et le nombre des variations n’étant nullement altéré par l’évanouissement de quelqu’une des fonctions intermédiaires X,, X,.. . . , X,|, puisque d’ailleurs X, conserve toujours le même signe par hypothèse, il faut nécessairement qu’autant il y a de variations

perdues dans la suite dos signes de X, X,, , X,, lorsqu’on passe do

X =r /.( à X = 7, autant il y ait do racines do X = o comprises entre ces deux nombres.

On déduit de là le cas particulier suivant : si, dans le cours des divisions nécessaires à la détermination des fonctions X, X, X„ on re-

connaît qu’une certaine fonction, X,, ne peut avoir que des racines imaginaires, comme alors elle ne saurait changer do signe (313), quelque valeur qu’on y substituât pour x, on n’a pas besoin de pousser plus loin les divisions ; c’est-à-dire qu’il est inutile do déterminer X,^, , . . . , X,.

Cette circonstance est très-importante à retenir ; car, en raison do la grandeur des coefficients numériques, on no peut se dissimuler que les calculs relatifs à la détermination des fonctions successives ne soient trèspénibles, surtout lorsqu’on arrive aux dernières.

(Fo/r le troisième et le quatrième des exemples du numéro suivant.)

353. Faisons maintenant quelques applications, en ne considérant touj4ig. B. 3 1