a4 = 67, et 43 — a

Voici le tableau des calculs algébriques :

Soit X le plus petit nombre; x -4- 19 est le plus grand.

Éq. : ax -i- 19 = 67, d’où ax = 67 — 19 = 48 ; donc.r = — = a4.

et, par conséquent, En effet,

j4 litre mode de résolution.

Soit X le plus grand nombre, x — 19 est le plus petit.

Éq.: ax — 19 = 67, d’où ax = C7 19 = 86; donc x = — = 43, et, par conséquent,

On voit par là comment, à l’aide des signes algébriques, on parvient à comprendre dans un cadre très-resserré les raisonnements qu’on est obligé de faire pour résoudre un problème; raisonnements qui, écrits en langage ordinaire, exigeraient souvent une ou plusieurs pages.

Résolution générale de ce problème,

4. La somme de deux nombres est a, leur différence est b. On demande de trouver les deux nombres.

INTRODUCTION

Soit X le plus petit nombre, ^x -V b désigne alors le plus grand.

Éq. ; 2x H- 6= fl, d'où ax=A — b - donc, .r = 2 = -

et, par conséquent.

Comme la forme de ces deux résultats est indépendante de toute valeur particulière attribuée aux lettres a et b, il s’ensuit que, connaissant la somme de deux nombres et leur différence, on obtiendra le pins grand nombre en ajoutant la demi-somme h la denn-différence, et le plus petit, en retranchant de la demi-somme la demi-différence.

Ainsi, que la .somme donnée soit 237, et la différence gg, le plus grand est

î22^99, ou =

et le plus petit.

En effet,

— = Cg.

168 4- 6g = a3“, 168 — 6g = gg.

On conçoit, d'après la question précédente, l'utilité des lettres pour représenter les données d’un problème. Comme on ne peut qu’indiquer sur ces lettres les opératiions de l'Arithmétique, 1e résultat auquel on parvient conserve la trace des opérations qu’il faut effectuer sur les quantités connues pour obtenir les valeurs des quantités que l'on cherche.

Les expressions ^ ^ et 7 — 7) auxquelles on est panenn dans le

problème précédent, s’appellent, en Algèbre, formules, parce qu’elles peuvent être regardées comme comprenant les solutions de toutes les questions de mémo nature, dans l'énoncé desquelles on fait .seulement varier les valeurs numériques des données.

On nomme, en général, solutions d’un problème les nombres susceptibles de vérifier son énoncé.

DEUXIÈRE QUESTION. — THÉOnÉME.

5. La somme de deux nombres multipliée par leur différence donne pour produit la différence des carrés ou des secondes puissances de ces deux nombres.

Ainsi, soient la et g ces deux nombres; leur somme est ai, et leur

INTRODliCTION.

différence 3. On reconnaît que le produit ai x 3 ou 63 est égal à i44r qui est le carré de la, diminué de 8i, qui est le carré do g.

Mais, pour mettre en évidence celte propriété, quels que soient les deux nombres, représentons ces nombres par les lettres n et b. La somme sera exprimée par n ■+■ b, et la différence par n — b.

Pour former le produit de ces deux expressions, on supposera d’abord que l’on ait à multiplier la somme a -h b par a, et le produit sera ax n -t- b X n, ou plus simplement, n’-t- ab : car il faut prendre chacune des deux parties dont a -h b est composé, autant de fois qu’il y a d'unités dans a, et tqouter les deux produits. Mais ce n’est point par a tout entier qu’il fallait multiplier, c’est par a diminué de b; ainsi le produit ■+■ fib est trop fort du produit de <n- é par b, c’est-à-dire de ab -H b'. Il faut donc retrancher <ib ■+■ b' du produit précédent a' -t- ab, ce qu’on indiquera algébriquement de cette manière :a’-^ab — ah — b‘‘. Comme d’ailleurs les deux produits -i- ab, — ah, se détruisent réciproquement, il vient enfin a‘ — é’ pour le produit demandé.

Oî résultat b' ayant été obtenu indé[)endamment de toute valeur particulière attribuée à a et h, il s’ensuit que le théorème énoncé est pour deux nombres quelconques.

TROISIÈME QUESTION. — TIIÉOBÈME.

G. Si, aux (Jeux termes d’une fractinn pmprement dite, ou d’un nombre plus petit (pic l’unité, on ajoute lui même nombre entier, la noueelle fraction (pti en résulte est plus Grande que la première.

Soit — la fraction proposée; ajoutant 3 à chacun de ses deux termes.

on obtient — r- Ces deux fractions, réduites au mémo dénominateur, delà

viennent — i or la deuxième fraction est évidemment plus grande que Go 6o

la première.

Pour reconnaître si le théorème énoncé est vrai, quelle que soit la fraction proposée, désignons celte fraction par ^ i en sup|K>sant a <b.

Soit m le nombre ajouté aux deux termes de cette fraction, il en ré-

suite 7

Afin de comjiarer les doux fractions, il faut les réduire au mémo dénominateur : il suDU pour cela de multiplier les deux termes a et è de la première fraction par 6 -4- m, et les deux termes de la seconde par b. Or multiplier « par é -t- m, revient à prendre a autant de fois qu’il y a d'u-

INTBODUCTIO». 7

nités dans b, autant de fois qu’il y a d'unités dans m, ce qui donne ab -H am. On prouverait de môme que le produit de b par b -t- m est

bni, ce qui donne pour la première fraction. De même, si

■ par b, comme on l'a vu

l’on multiplie les deux termes de la seconde j-

,, , . , ab -h bnt

(S),elledK.ent-^,^.

Les deux numérateurs ab nm, ab -i- bm, ont une partie commune ab ; et la partie bm du second nfimérateur est plus grande que la partie am du premier numérateur, puisqu’on a supposé b y- a. Donc aussi la seconde fraction est plus grande que la première; ce qu'il fallait démontrer.

On voit d'ailleurs, par le raisonnement précédent, qu’il faut que ^ soit

une fraction proprement dite, pour que le théorème soit vrai ; car autrement, la seconde fraction serait moindre (jue la première, puisque alors on aurait ab-^-bm Ciab-t- am.

7. En réfléchissant sur les moyens de résolution des questions précédentes, on sentira que l’emploi des signes algébriques doit donner lieu à des règles communes à plusieurs questions. C’est ainsi, par exemple, que dans la seconde et la troisième, on a été conduit à cITectuer la multiplication d’une somme a -i- b par un nombre a, d’une somme a -t- i par b, d’un nombre a par une somme b -h m. D’où il résulte qu’en établissant des préceptes généraux pour trouver les résultats des opérations qu’on peut avoir à effectuer sur les quantités algébriques, on aurait des moyens fixes de résoudre, par les symboles algébriques, toutes les questions relatives aux nombres.

Cette partie de l'Algèbre a pour titre : La manière d’effectuer tes o/wrations de l’ Arithmétique sur les <iunntités algébriques ou littérales , c’està-dire sur les nombres représentés par des signes algébriques.

On ne peut se dissimuler que cette partie ne soit un peu aride, |)cutètre même rebutante pour les commençants; mais il est indispensable de la bien posséder, si l’on veut avancer rapidement dans le champ vaste et fécond de l’Algèbre.

CHiPITRB PREHIER.