SEPTIÈME EXEMPLE

(i) X* — ( 3/ 5) io>- -t- 6)x — /• — 5) ' — 0/ = o,

(a) jr‘— 5 rx’-i- (8j-'— i)x — 4j‘-hj'= o.

En appli([uant à ces deux équations le procédé ordinaire, on obtient successivement les deux restes

(3) (a r — 5)x’ — (5/’ — lor — 3^’ — Sy’ — yr,

{j-‘ — 35/’— 5o/ -H a4)x — io/‘— 35/’ -t- 5o/’ — a4/,

ou

(4) (r‘ — 'ov’-H 35/’— 5o/ -4- a4) {.r — /).

Supprimant, dans ce dernier reste, le facteur en / qui s’y trouve en évidence, puis divisant (3) par x — /, on obtient un quotient exact et égal à

ce qui prouve que (x — /) est diviseur commun aux premiers membres do (i) et do (2).

En effet, la division étant essayée, on reconnaît que ces équations peuvent être mises sous la forme

et qu'ainsi elles sont indéterminées. Elles rentrent dans le cas qui a été examiné (268).

Si l’on supprime le facteur x — / qui les rend indéterminées, et qu’on pose

x’ — (ajr -r- 5)x -t-/’-i- 5> -h 6 = o, x’ — 4/x -4- 4/’ — I .= o,

on peut demander /es soiiaions (en nombre limité) communes à ces nouvelles équations, lesquelles solutions appartiennent également aux équations proposées. Or je dis que, pour obtenir l’équation finale et le reste du promi.vr degré en x, qui correspondent aux nouvelles équations, on peut faire usage des calculs précédents.

Pour nous rendre compte do cette circonstance d’une manière générale, appelons A et B les premiers membres des deux équations proposées ; et soient A = ,V'D, B = B'D, D étant un facteur commun en x et /, ou bien en x seulement.

BECONDB PABTIB DB L’EUBiniTIOIf. 5o3

En oppliqiiant d’abord aux deux polynômes le procédé ordinaire, on trouvera une première série de quotients, et une première série do restes, lesquels restes contiendront également le facteur commun ; mais si l’on supprime ce facteur dans A et dans B, qu’on veuille ensuite agir sur les poljudmes résultants A' et B', on retrouvera nécessairement les mêmes quniicnts, et des restes qui no dilTéreront do ceux do la première série d’opérations qu'en ce qu’ils ne contiendront plus le facteur commun. Donc le dernier reste, entre autres, do la seconde série d’opérations ne différera du dernier reste de la première série que par l’absence du facteur commun.

Ainsi déjà le premier membre de l’équation finale /qui correspond à A' = O, B' = O n'est autre chose que le dernier reste de la première série d’opérations, débarrassé du facteur commun à k et à h\ c’est le facteur commun en / qui existe entre tes coefficients de ce reste.

Dans l’exemple précédent, ce facteur est

Quant au reste du premier degré en x de la seconde série d’opérations, il doit être égal à l’acant-dernicr reste de la première série, dicisé par le facteur commun : c’est donc le dernier quotient (5) do la première série, ou bien

L’équation

X* — lOT"* -I- 35/’ — Sox -H = O,

étant résolue d’après la méthode des racines commensurables, donne pour valeurs

Substituant alternativement chacune do ces valeurs dans le reste du premier degré en x, et résolvant ce reste égalé à zéro, on trouve, pour les valeurs de x correspondantes,

HCrriÈMB EXEMPLE.

(a) x>— Lr — i)x’— (/ — i)x-M= o.

On obtient d’abord, pour reste du second degré,

(3) 2xx;’- (x’—X—i]-t:—J'’-J'-*-h

5o4 CDAFITU TIII.

et [>our reste du premier degré

ou

Supprimant le facteur en .r c|ui se trouve dans (4), puis divisant (3) l>ar (jr + i), on obtient un quotient exact et égal à

d’où l’on peut conclure que j 1 est diviseur commun des doux proposées. Ces équations, débarrassées du facteur (x -i- i), se réduia'nl à

et la question est ramenée à trouver les solutions communes à ces nouvelles équations.

Or, en appli(iuant la règle qui a été établie plus haut, on trouve pour équation finale

[c’est le facteur en^ qui se trouve dans (4)], et pour l’équation du premier degré en .x correspondante le reste ( 5 ) égalé à zéro, c’csl-à-dirc

a rx i- I O.

La première de ces deux équations n’admettant pas do racines commensurables, il faudrait y appliquer la méthode des racines incommensurables; après quoi l'on substituerait chacune des valeurs de y obtenues dans la seconde équation, laquelle donnerait alors les valeurs de x correspondantes.

36i. Pour compléter l’analyse du numéro précédent, il nous reste à examiner le cas où, les premiers membres des équations proposées étant ordonnés imr rapport à l’inconnue qu’on veut éliminer, r par exemple, les coefficients renferment un facteur fonction dc^' (voir n° 2C8).

Soient toujours A = o, B = o les équations proimsées; et supposons en premier lieu que A seul renferme un facteur F, fonction de y, en sorte que l'on ait A = A'x F.

Comme chacune des valeurs de^ tirées de F = o satisfait nécessairement à A = o, quel que soit x, il s’ensuit que, si l’on substitue successivement ces valeurs dans B = o, et qu’on détermine les valeurs de x qui corresjiondent à chacune de ces substitutions, on obtiendra autant de couples de valeurs de x et de / propres à vérifier simultanément les équations A = o, B = o.

D; red by Googk

SECONDE PARTIE DE L’ÊLIMINATION. 5o5

En d’autres termes, le système des équations ( A = o, B = o) peut être remplacé par les deux systèmes

en sorte que, si l’on appelle Y = o l’équation finale correspondant au système (A'= o, B = o), l’équation

est l’équation finale correspondant au système proposé, en ce sens qu’elle fournit toutes les valeurs convenables de jet n’en donne pas d’étrangères,

(Il est bien entendu d’ailleurs que, parmi ces valeurs de j, se trouvent comprises celles auxquelles il correspond des valeurs de x infinies. Ainsi, par exem|tle, dans le cas où un facteur^ — 6, appartenant à F, entrerait dans un ou plusieurs des premiers coeflicients de B, il s’ensuivrait que, pour cette valeur de r, on obtiendrait une ou plusieurs valeurs infinies de or.)

En second lieu, soient

A = A'xF, B = B'xF,

F et F' étant premiers entre eux.

On démontrerait, comme ci-dessus, que le système des équations (A = o, B =: o) peut être remplacé par les trois systèmes

Ainsi l’équation Y x F x F'= o est l’équation finale qui correspond aux équations proposées.

Troisièmement, enfin, soient

. A-=A'xF, B=--B'xF',

F et F' avant un facteur commun, fonction do y.

• I te'

Appelons o ce facteur commun et /,/' les quotients respectifs de F F', divisés par Les équations proposées sont alors de la forme

et peuvent être satisfaites par chacune des valeurs de j tirées de ^ = o, en môme temps que par une valeur quelconque do x\ donc elles sont indéterminées ( 2G8 ) .

Mais, si l’on supprime ce facteur ^ qui les rend indéterminées, on obtient les nouvelles équations

5oG cnAPiTBB Tiii.

auxquelifts correspond alors l'équation finale

Yx/x/'=o

(V = O étant l'équation finale relative à A'= o, B'= o).

3f)3. Nous terminerons le paragraphe de l’élimination par deux exemples où les premiers membres des équations proposées peuvent être décomposés à priori en facteurs, les uns fonction do æ ou do.r seulement, les autres fonction de x et do y à la fois, auquel cas b détermination des couples devient beaucoup plus facile que par la méthode générale.