DIXIÈME EXEMPLE
(ax— 3jr) (x’— /’) = O.
Ces équations reviennent à celles-ci ;
(ax - 3^) (x — ^) (x -H y) = o;
et, en combinant successivement chacun des trois facteurs de la première avec chacun des trois tacteurs do la seconde, on obtiendra neuf systèmes d’équations dont l’ensemble peut remplacer le sy stème proposé.
Combinons, par exemple, les trois facteurs de la première équation avec le premier facteur de la seconde, ce qui donne les systèmes
(yx — 6=0, ax — 3y=o), (x — i = o, ax — 3^=o), (x-i-i = o, ax — 3y=o);
on trouve, pour le premier système, les deux couples
puis, pour le deuxième et le troisième respectivement,
(y=î,x = i) et (y=-|, x=-l).
CnXPITKE TIII.
r.'imbinanl de mi'me les trois facteurs do la première équation avec le second, puis avec le troisième facteur de la deuxième, on trouve
L»' -r -i), îr--‘.
ce qui donne encore iloitze solutions.
N. Ji. — On voit, par les deux exemples précédents, comment on peut former ît priori des systèmes d'équations susceptibles d’admctlro des snhaions données.
Jppliralion de la théorie de l’élimination à ta résolution des ét/iuitions irrationnelles h une seule inconnue.
306. Toutes les fois qu’une équation renferme des signes radicaux où l’inconnue se trouve engagée, la théorie de l'élimination fournil un moyen facile de la résoudre. »
Prenons pour premier exem|)le l’éiqualion
(i) x’ -r \Jx — i8=o.
On pourrait d’abord, en transposant æ’— i 8 dans le second membre, et élevant au carré, faire disparaître l’irralionnalité; ce qui donnerait
a: = (i8— x’)’, ou x' — 36x’ — x -i- 3a4 = o;
cl il ne s’agirait plus que d’appliquer à cette dernière équation les méthodes connues de la résolution des é<iuations numériques.
Mais il est plus simple d’opérer comme il suit ;
Posons
yéx = ^, d'où x=j’; il vient, par la substitution dans l’équation (i),
équation qui, résohie, fera connaître les valeurs de j et, par suite, celles do X d’après la relation x =
Or, si l’on applique à l’équation (a) la méthode des racines commensurablcs (320), on reconnaît facilement que a est racine, et que c'est d'ailleurs la seule racine commcnsurablo qu elle renferme.
Do J = a on déduit x = (a)’= 4. Ainsi 4 est une racine commensurable de 1 équation (1), et c’est la seule qu’elle puisse avoir.
ÉVANOUISSEMENT DES RADICAUX DANS LES ÉQUATIONS, ETC. 5o()
Si cependant on voulait obtenir les autres, il faudrait encore avoir recours à l'équation (a), qui est beaucoup plus simple que l'équation en X.
L'équation (a), n’olTrant qu’une vftriaihn de signe, a une seule racine positive : c’est celle qu’on vient d'obtenir ; et si l'on y cliange r en — j-, il vient ‘ — — i8 = o, équation qui présente également une seule va-
riation de signe.
D'où l'on peut conclure que l'équation (a) a deux racines réelles, l'iinc positive, l’autre négative, et deux racines imaginaires. Mais la relation X = .r’ prouve que les deux racines réelles de l’équation (i) sont positives.
On peut s’assurer aisément que la racine réelle de l’équation (a)
est comprise entre — a et — 3 ; et on l'obtiendrait en a^>pliquant l’une des méthodes d’approximation.
Soit encore l'équation
(l) ^Xs-vj — \jx~.-l=zO\
et posons
il en résulte
(a) x-i-9=r‘, X -M = z’, et x—z = o,
dont la derniere, donnant^ = z, ranfène le système des trois équations aux deux suivantes :
L élimination de z entre ces deux-ci, d’après le procédé ordinaire, conduirait à l’équation finale en x; mais, comme l'inconnue x n'entre qu'au premier degré, il est plus simple do l'éliminer.
On trouve, en effet, par la soustraction,
8 = a' — z’ ou z* — z' — 8 = o,
équation qui, traité'o par la méthode des racines comraensurables, est satisfaite par z = a.
Portant cette valeur dans l’équation x -f- 1 = z’, on obtient x = 7 ; ce qu’on peut vérifier en substituant cette valeur dans l'équation (i).
On prouverait, comme dans l’exemple précédent, que l'équation
a une seule racine positive (z = 2), une racine négative incommensurable comprise entre — i et — 2, et deux racines imaginaires.
5io
CUJirlTRB TllI.
iV. B. — On pourrait obtenir diroctement l'équation en x privée do radicaux. 11 suflirait, pour cola, do transiwser l’un des termes de l’équation (i) dans lo second membre, puis d’élever les deux membres à la douzième puissance; il viendrait ainsi
ou, effectuant les calculs et réduisant,
Æ*->- 3x* — aix* — aBgx — 728 = o ;
mais cette équation est beaucoup moins simple que l’équation en z.
Soit, pour troisième exemple, l’équation
(1) ^'•xx-rxy — ^-jx -t- 1 3 = O.
Posons
2j: -f- 17 = 7j:-t-i = z’; d'où z-4-3 = ü.
On tire de la dernière
d’où, substituant dans la seconde,
7x-i-i= (/-t-3)’, ou développant et réduisant,
6/ — 7ar -H 8 = o,
équation qui, combinée avec la première, y' — *-r — 17 = o, par voie d’élimination, donnera, soit l’équation finale en x, soit l’équation finale en Mais comme x n’entre qu’au premier degré dans cos doux dernières équations, il est plus simple de former l’équation on x- On obtient, tout calcul fait,
En appliquant à cette équation la méthode des racines commensurabics entières (320), on reconnaît que 3 est une racine; ce qui donne,
d’après la relation x = — ; — - ,
valeur qui, substituée dans l’équation (1), 1a réduit à y/ 27 — /3Î5 H- 3 = o, ou 0 = 0.
Si nous divisons lo premier membre de l’équation (a) par^'— 3, il
'Digiiizco Dy Oôôglc
ÉTANOUISSEHBNT DES BADICAUX DAKS LES ÉQUATIONS, ETC. 5ll vient pour quotient iQX 1 15 = o, dont les racines sont évidem-
ment imaginaires.
3G7. Remarques. — i° Les transformations qui ont pour objet d’obtenir directement l’équation en x privée de radicaux, et qui consistent à transposer certains termes, puis à élever ensuite les deux membres à des puissances plus ou moins grandes, suivant le degré des radicaux qui entrent dans l’équation, entraînent généralement dans des calculs fort compliqués, et cette méthode est même en défaut dès qu’il entre plus rie deux radicaux.
•4u contraire, en égalant successivement chacun dos radicaux à une inconnue auxiliaire, on parvient toujours à un système d’équations rationnelles en X, X, Z, H, au moyen desquelles on peut, par la méthode d’élimination, obtenir une équation finale fonction de l’une des inconnues auxiliaires. En résolvant cette équation, et remontant à Tuno des relations établies, on en déduit facilement la valeur ou les valeurs correspondant à celles qui ont été obtenues pour l'inconnue auxiliaire.
2" Quant au degré do l’équation finale en x, il est déterminé (sans qu’on soit obligé de la former) par le nombre do valeurs de x qui correspondent aux solutions de l’étiuation finale sur laquelle on a opéré.
Nous proposerons comme exercices les exenqdes suivants ;
yj ^x — p'x -+- a = o;
équation finale en x, ce qui donne et, par suite.
L’équation finale en x est du troisième degré.
équation finale en y.
V^4-r -+- i5 -1- ^bx -f- 1 = 7;
d'où l’on déduit et, par suite.
5y’— 4/’-t- 56y — 267 = o; y = 3, et 2 racines imaginaires, X = 3, et 2 racines imaginaires.
CBAPITBE VIII.
équation en z,
s‘— 93' — las’-, 48ï — 4o = O, (2 = 2, d’où a, = 3).
4" \/jr — — v'-'’ — 7 = ”;
équation en
(^- = 3, d’où J = 8).
équation en r,
{y~o, y 2, V: — 1, d'où j=— i, x = 3, x=-o).
A'. Pj. — Il est remarquable que ce dernier excmjile offre trois solutions entières.
§ V. — HÉSOU’TIO.N DES ÉQt^ATIONS A DEUX TERMES PAB LA TBIGONOMÉTRIE.
Décomposition des fractions r,vtionnelles e.n fractions simples (*). Des ètjiiations à (Unix termes.
Nous avons déjà résolu (167 et 200) plusieurs espèces d’équations à deux termes. Nous nous projiosons actuellement de les résoudre toutes complètement; mais auparavant il est bon de faire quelques remariiues sur la nature do leurs racines.
368. On appelle éijuation à deux termes toute équation qui no renferme qu’une seule puissance de l’inconnue, avec des quantités toutes connues.
11 résulte de là que toute équation à deux termes peut être ramenée à la forme
{*) Les doux théories qui doivent faire l'objet de ce dernier paragraphe se liaient plus nalurollemcnt, t'unc avec le Chapitre IX, l’autre avec le Chapitre X ; m.vis comme elles font actuellement partie du Programme d’admission à l’École Polytechnique, nous avons cru devoir les placer immédiatement à la suite du Chapitre Vlll.
BSHABQDES SDB LES BQDATIONS A DEUX TEBHES, ETC. 5l3 P étant un nombre absolu; et si l’on pose x — jr'VPi >1 px’‘±p= O, d’où y"±i = o.
Ainsi c’est de la résolution de cette dernière équation que dépend celle de toutes les équations à deux termes.
Comme l’équation x" — • = o revient à x“‘= '> on voit que tout se réduit à trouver pour x expressions numériques ou algébriques qui, élevées à la m'"“ puissance, peuvent produire l’unité. C’est pour cette raison que les racines de l’équation i = o sont appelées les racines de l'unité.
Les racines de l'équation ^"-i- 1 = o, ou — i , sont dites les racines de l’unité négative.
Cela posé, voici les remarques qui doivent précéder la résolution de ces deux sortes d’équations.
369. Premièrement. — L’équation ^ — i = o a une seule racine réelle si m est impair, et deux racines réelles si m est pair.
Soit d’abord m un nombre impair. Comme l’équation n’a qu’/oie variation de signe, elle n’admet (313) qu’une seule racine positive, qui est -h i. B est d'ailleurs évident qu'aucun nombre négatif ne peut y satisfaire.
Lorsque m est pair, -h i et — i vérifient l’équation et sont les seuls nombres qui puissent y satisfaire ; car elle ne présente qyCune variation de signe, soit dans son état actuel, soit lorsqu’on y change j en — r.
Deuxièmement. — L’équation^"-*- i = o a une seule racine réelle si m est impair ; et toutes ses racines sont imaginaires si m est pair.
D’abord, quel que soit m, l’équation, u’olfrant pas de variations, ne peut avoir aucune racine positive.
Ensuite, quand m est pair, le changement de en ne produit encore aucune variation ; ainsi, dans co cas, l’équation n’admet ni racine positive ni racine négative.
Mais, si m est impair, l’équation est satisfaite par = — i ; et c’est la seule racine négative, puisque le changement de x en —.r ne produit <p!une variation.
Troisièmement. — Les racines de l’équation i = o, ou de l’équation J-" -*- 1 = O, sont toutes inégales ; car le polynôme dérivé du premier membre, ou mx’’~', n’a aucun diviseur commun avec^"— i ou^"-t-i.
370. Quatrièmement. — i® Si a désigne une quelconque des racines imaginaires de l équation x^ — i = o, on a également a® pour racine de cette équation {p étant un nombre entier quelconque positif ou négatif).
dlg. & 33
5i4 ciupiTBB nu.
Car, puisque a vérifie l’équation, on a l’égalité a"=i, d’oJi («'")'’= I, égalité que l'on peut transformer ainsi
d’où l’on voit que a' est aussi racine de l’équation. Donc, o étant une des racines imaginaires do l’équation — i = o, on a également pour racines
jç Plusieurs de ces puissances rentrent nécessairement les unes dans les autres; autrement l’équation aurait plus de m racines. Et en efl'ct, soit, par exemple, l’équation
Si a est une racine imaginaire, on a l’égalité
a‘ — 1 = 0, d’où a*=i; donc . . , ,
a' = a‘xa = a, a’=a*Xa’ = a“
et ainsi de suite.
a" Si a désigne une quelconque des racines imaginaires de l’équation ^"4-1 = 0, a' est aussi racine lorsque p est un nombre impair quelconque. positif ou négatif.
En effet, de l’équation a'" = — i on déduit (a"" )' = — i , puisque, par hypothèse, p est impair. Or cette égalité revient à
donc af est racine do la même équation.
A.insi
sont des racines de l’équation + 1 = o.
Résolution de l'équation y”' — i = o.
37i . Cette résolution repose sur une formule trigonométrique que nous allons d’abord faire connaître.
Si l’on multiplie entre elles les deux expressions
cosa -t- sinav^ — i et cosé -t- sinip^ — i ,
RÉSOtUTIOS COIPLftTE BE l’SQÜàTION I = O. 5l5
on a pour produit
cosncos6-H (sinacos6-f- sinè cosa) sinasini;
donc, à cause des formules
cos(a -i- i) = cosa cos6 — sina sini, sin(a + i) = sina cos & -+- sini cosa,
il vient
(cosa -h sinav' — i) (cost siniv^— i)
= cos(a -+- 6) -h sin(a -+■ .
Soit a-i^ b = a’, et multiplions
cosa'-t- sinaV — i par cosc -t- sincy^— i ;
on trouvera de môme
(cosa'-i- sina' V^)( cosc + sine / — i)
= cos(a'-i- e) ■+■ sin(a'-i-e) v'— i ,
et, par conséquent,
(cosa -H sinay^— i) (cos6 H- sinb^—i) (cosc -i- sinc^— i)
= cos(a -H fc -t- c) -h sin(a H- é -(- c)y^^.
En général, soit un nombre m d'arcs a, c, . . . , é; on a évidemment le résultat suivant :
(cosa -t- sinayé^) (cosi -f- sinty/^). . .(cosé-i- sin/y^^)
= cos(a -+-é-HC + ...+ /) -t-sin(a-+-i + c-(-...-(- ,
Supposons maintenant a=6 = c = ...=:/;ilen résulte a-i-ô-Hc-t-...+ /= ma,
d’où
(i) (cosa H- sina y/ — 1)'"= cosaia -+- sinma^— i.
Cette formule étant vraie, quel que soit l’arc a, on peut remplacer a par — a; et si l’on se rappelle que cos( — a) = cosa,8În( — a)^ — sina, il en résulte cette nouvelle formule
(a) (cosa — sinay/— I )”= cos/na — sina/ay/— i.
On sait encore que, désignant une circonférence de cercle, i le
D^itized by
Sl6 CHAPITRE TIII.
rayon, et k un nombre entier quelconque, on a
(3) cosa^wm et 8inaAir = o,
372. Cela posé, il résulte évidemment des formules (i), (a), (3)
( cos ± sin J— I ) = cosa*7t ± sinaXir i = i ; \ /« m J
d’où l’on voit que, quel que soit le nombre entier k, l’expression
, a^'tr /
cos ± sin V — I
jouit de la propriété d’être une racine m'""" de l’unité, c’est-à-dire de satisfaire à l’équation /"■ — i = o.
Pour obtenir les différentes racines, il ne s’agit que d’attribuer à A les valeurs o, i, a, 3,..., puis de calculer, au moyen des Tables irigono-
aAff , . aAir
métriques, les valeurs correspondantes de cos et de sm • Discussion. — Puisque X désigne un nombre entier tout à fait arbitraire, il semble que l’expression x = ± V^— • doive présenter
une infinité de valeurs; mais nous allons voir qu’elle ne fournit réellement que m valeurs différentes.
Donnons d’abord à k toutes les valeurs entières comprises depuis léro jusqu’à — — - inclusivement si m est impair, et depuis zéro jusqu’à aussi inclusivement si m est pair ; il viendra par ces substitutions.
pour X- = O,
X = cos o ± sin O ^ — i =
r= COS — ±:8in — V-“>»
r= COS — ± sm — y— 1|
Ôtt 6fr
y = COS — ± sm — y— i , m m ^ ^
enfin, si m est impair.
, m — i (m — 1)« . . (m — Ott . —
k = - > r=C08^ i-±8in! —V — ',
pour * = — ^ — > X
ItSOLDTION COüPLiTB DB l’CQD&TION — 1 = O, 617 et si m est pair,
pour A = /=cosit±sinw/^= — I.
Ce tableau donne toutes les racines de l'équation.
En effet, 1° lorsque m est impair, cliacune des valeurs ^ = i , a, 3, . . . ,
fournissant deux racines pour y, le nombre total de ces valeurs
donne nécessairement 2 ou (m — i) racines; d'ailleurs X- = o donne la racine i . Ainsi le nombre des racines fournies par k = o, i, a, 3,..., ^ est m. Toutes ces racines sont essentiellement différentes, car
les arcs o, — , , étant moindres que n ( ou la demi-
circonférence), ont au moins des cosinus différents.
2° Lorsque in est pair, les deux valeurs extrêmes i = o et ^ = ~ fournissent les deux racines -+- 1 et — i . D'ailleurs les valeurs intermédiaires X- = I, 2, 3, . . . , donnent chacune deux racines; donc
le nombre total des racines qui correspondent à ^ = o, i , 2 , . . . , (?-)■ ^ est exprimé par a -1- a ®'6s^'3-dire par m\ et
ces racines sont essentiellement différentes, par la même raison que ci-
On voit d'ailleurs que, pour une même valeur de X-, autre que A = o si m est impair, et autre que i- = o, le = ^ si m est pair, les deux racines
imaginaires qu’on obtient sont conjuguées, en ce sens que, p-\-q^—i étant l’une de ces racines, on a p — qyj—\ pour la seconde racine (*).
En outre, ces deux racines sont réciproques l’une de l'autre (299), puisque l’on a pour leur produit
(aXff . a^TT y — \ / ikis . tkic / — \
cos h sm — d— I J ( cos sm v~i I
.tkis . , <xksz = cos’ 1- sm’ = I .
(*) Cette propriété n’est qa’un cas particulier de celle qui sera démontrée dans te Chapitre IX.
CHAFIT>E TIII.
n noos reste maintenant à faire voir qu’en attribuant à i de nouvelles valeurs plus grandes que — > ou on retombera sur les mômes racines.
Soit d'abonl m un nombre impair; et supposons /■ = ”* ' -t- n ,
n étant un nombre entier positif quelconque. Il vient
(m ^n — ilw , . (//i-i-an — iln-
r = cos — ± sm --
ou
r (on — 1)*"| , . r
/ = cos I ÎT -t- — — — I ± SlD 7;
(an — i)7T
or je dis que ces valeurs sont identiques avec celles qui correspondent à
. m — I m — an-l-i
* = (/i — 1), ou — ^
En effet cette dernière valeur de X- donne
V = COS — c»" -
± sin î
ou bien
„ r (»” — O”''! . ■ r (an — ilffl , —
cos J ± sm [tt J »/=:7.
Mais on sait que, pour deux arcs, tt -1- o et tt — a, l’on a
COS(7T-i- a) = cos(jr — a) et sin{jr a) = — sin(7r — a) ; d’où l’on conclut
Donc le$ deux racines qui correspondent a k ■= — — î- -i- n sont identiques avec celles qui correspondent à k = — - -+■ n — i ; la seule dif-
férence consiste en ce qu’on trouve les deux racines dans un ordre inverse.
ii'i."';' I , (.'.nZj^le
EELAT10N8 BXTRR LES SACmES DE l'SQCATION — 1 = 0. SlQ
Si m est pair, soit encore fait X == — -h ; il en résulte
