COS

mi: H- 2/jt: . . wtt h-

y=cos[^^^ j,± s.„ j

Mais, pour X = ^ — /i, on avait déjà obtenu

donc, à cause de

f 2/?tt\ [ 2/?7r\

cos I rr H I = OOS I TT ] J

et do

. / 2//Tr\ / 2/ît:\

les valeurs de x correspondant à X = ^ -h /i sont identiques avec celles qui correspondent à X = — — n.

Donc, enfin, le tableau des valeurs que l’on a obtenues j>our X = o, i ,

2, 3,..., î ou —J renferme toutes les racines de r — » = o,

quel que soit m.

Relations entre les racines de ^équation y”* — i = o.

373. En jetant les yeux sur le tableau des valeurs de qui correspondent aux diverses hypothèses X- — o, i , 2, 3, . . . , et en se rapt>elant la formule

(cosa sin« v^— i )“= cosma -f- sin/wa i ,

on voit que

47t . 4^ / / arr . 27T f^—\

\ h sin — iX —I = I cos h sin — v— * 1 »

6?r . Gtt à / 27C . 2r , \*

i h sm — i/— I = I cos h Sin — v'—J ) ’

rn m \ m m J

cos — T -f- sin

■ -f- sin — V' — *

CBAPITBE TIII.

si m est impair; cl

/ ■ / aîT air /■”■ \ *

C08ir-h sunry^is lco8~-*-8in— v — i ) »

8i m est pair.

Donc, si l’on désigne par a la première racine imaginaire

2JT . î»r ,

COS h sm — v'— I

toutes les racines du tableau déjà cité, correspondant au signe supérieur, pciuent être représentées par

a*, a', a’, o’, . . . , a » , ou a>;

quant aux racines qui correspondent au signe inférieur, comme elles sont les réciproques des précédentes, depuis a jusqu’à a > si m est impair,

et jusqu’à a > si m est pair, on peut, en les écrivant dans un ordre inverse, et ayant d’ailleurs égard à la relation a”= i, les présenter ainsi :

a ' ou a , a"-*, a""’, a""*.

D’où l’on peut conclure enfin que, a désignant la première racine imaginaire, toutes les racines de l’équation — i = o peuvent être représentées par

a", a’, a’, ..., a » ou a » ,..., a""’, a"-’, a"“‘,

série dans laquelle les exposants no sont autre chose que les nombres entiers compris depuis zéro jusqu’à m — i .

374. Remarque importante. — Cette propriété, dont jouit l’une des racines imaginaires, de reproduire toutes les autres par ses diverses puissances, n’appartient généralement qu’à la première racine

ou é sa conjuguée

COS h sin v — ï y

. atr /—

COS sm — V— I.

On a bien prouvé (370) que, a étant une racine imaginaire quelconque, a» est aussi une racine de l’équation ; mais il n’est pas toujours vrai de

lELATIOKS EItTKB US BlCtSES DB l’ÉQCATION jr” — 1 = O. 5îl dire qu’en donnant à ^ des valeurs entières convenables on pourra, avec cette racine a, reproduire toutes les autres.

Soit, par exemple, l'èqualion j*— i = o, qui, pouvant se mettre sous la forme (j-* — i ) -t- 1 ) = o, donne

I r = 1 et =

1 , 3"/=— iet^' =

Comme les trois premières racines proviennent de — i = o, on a, en

désignant par a la racine

«‘=a>xa>=a‘, *•= (a>)> = r , . .

d’où l'on voit que les trois premières racines seulement sont produites — I -t- y'— 3

par les puissances do

Hais il n’en est pas de môme de car on trouve

Ainsi toutes les racines sont produites par les puissances o, i, a, 3, 4, 5, . . . de la racine ' ^ et cela tient à ce que cette dernière ra-

cine est la première donnée par la formule

aTT . air , —

cos H sin — lé — 1 ,

qni devient, dans ce cas,