III I I

ou, à cause de o"= — i, d'où a*"= i,

, . . . , a" ou a'"^' .

Donc, enfin, toutes les racines de l’équation ^'"+1 = o sont, dans l'hypolhèso de m impair,

et, dans l'hypothèse où m est un nombre pair,

N. B. — Pour plus de généralité, nous avons établi des formules pour résoudre l’équation 1 = o, quel que soit m. Mais, quand m est impair, on peut changer^ en — ce qui donne j'”— i = o; et l'on voit que, dans ce cas, les racines de l’équation 1 = o sont égales aux racines de l’équation — i = o, prises en signes contraires.

377. Scolie général. — En récapitulant tout ce qui vient d’étre dit sur les équations à deux termes, on peut en conclure qu’un radical quelconque a toujours autant de valeurs qu’il jr a d'unités dans son indice. Ces valeurs sont égales à la racine arithmétique de la quantité sons le signe, considérée avec sa valeur absolue, et multipliée alternativement par chacune des racines de -4- 1 ou do — i .

Ainsi, lorsque l’on a deux radicaux à multiplier l’un par l’autre, le produit est susceptible d’autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans le produit des deux indices, à moins que les degrés des deux radicaux ne soient égaux ; car alors plusieurs valeurs deviennent identiques.

Soit, par exemple, ^<1 à multiplier par yt. Désignons par p ei q leurs valeurs arithmétiques; on a (374) pour le premier radical

et pour lé second

RÉSOLCTIOn DES EQUATIONS TRIKÔEEB. 525

multipliant chacun des termes de la première ligne par chacun des termes de la seconde, on obtient

expressions qui se réduisent à trois différentes, pq, apq et a'pq, si l’on observe cpie l’on a

a’ = I et a* = a.

Il en est de même lorsque les deux indices ont un facteur commun. Le nombre des valeurs différentes du produit est alors égal au plus simple multiple commun des deux indices.

Ces observations complètent ce que nous avons dit dans le Chapitre VI (167) sur la multiplicité des valeurs d’un radical.

Équation trinôme, px"-h q = o.

378. On appelle ainsi toutes les équations qui ne renferment que deux exposants de l’inconnue, dont l’un est double de l’autre, et des quantités toutes connues.

Ces équations peuvent toajours, par la transposition et par la réduction, être ramenées à la forme ci-dessus, et leur résolution dépend uniquement de celle do l’équation du second degré et de l’équation è deux termes.

En effet, soit posé y; il en résulte

r’+py=q, d’où r= ± y/j-f-j;

donc

Ainsi, pour obtenir toutes les valeurs de a, il suffit de multiplier l'one des racines mf^ de — ^ et l’une des racines de

~ 2 ~ P®’’ chacune des racines de -h i.

Soit, par exemple, l’équation

■r*- 7x‘= 45i44; en posant x’=/-, on trouve

d'où l’on déduit

cbafitkb tiii.

/ = ai6 et J- = — 209.

Donc

i‘’j:*=ai6; d’où .r = G, .r = 6a, x = 62’;

2” x*= — aog; d'où x= — ÿ^2og,x= — ay/ao9,x= — a’v^209,

a désirant la première racine imaginaire de l’unité.

La résolution des équations trinômes conduit à l'extraction de la racine nfi" d’une quantité de la forme a h- Nous avons déjà (118) traité le cas particulier de m = a, et nous aurions maintenant à considérer le cas général ; mais, cette opération offrant peu d’applications dans l’analyse algébri(|ue, nous nous dispenserons de la développer ici.

décomposition des feactions hatio.nnelles en fractions simples.

379. Nous avons déjà vu (184, N. £.) que ces sortes de fractions peuvent toujours être ramonées à une forme telle, que le numérateur soit de degré moindre que le dénominateur, c’est-à-dire à des fractions de la forme

a -h hx -i- ex’ -f- ...-+- /x" a'-(- b'x ■+■ c'x’-+-. . . -H /'x”’

m étant > n.

Maintenant si, pour plus de simplicité, on fait

il vient

a ■+■ 6x -I- yx’-f- . . àx" o'-t- 6'x ■+■ 7'x’-t-. . x”’

expression dans laquelle le coefficient do la plus haute puissance de x, au dénominateur, est égal à l'unité.

Cela posé, la question que nous avons à traiter a pour but do décomposer les fractions de cette dernière espèce en une somme d’autres fractions

p, </, r,... étant les racines du dénominateur égalé à zéro. A, B, C,... des quantités fonctions de a, 6,. .. , a’, S', . . . , y?, q,r,... qu’il s’agit de déterminer.

380. Considérons d’abord le cas où le dénominateur est du second de-

DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES, ETC. 5^7 gré, et posons

o'-i-6'xH-i’ X — ji X — <i

Si l'on chasse les dénominateurs, et que l'on ait égard à la relation x’-t- 6'x -I- x’= (x — p) {x — q),

on obtient

a-t-6x = A(x — ^)-+-B(x — p), ou, transposant et ordonnant par rapport à x,

(A-+-B — 6)x — kq — Bp — a = O, équation qui, devant exister quel que soit x, donne nécessairement (180) A-t-B — 6 = 0, kq + Bp -h a=z O]

d'où l’on déduit

kA±^, b = -!?.^.“-

Soit, comme cas particulier, la fraction

3 — ix — 3 -t- ax

ou i ;•

3 ax — X* — 3 — ax -I- X

L’équation x’— ax — 3 = o donnant x = 3, x = — i, tout se réduit à poser a = — 3, 6=a, /< = 3, 7=— i dans les valeurs ci-dessus de A, B; et il vient

donc

— 3-1- ax 3 5

— 3 — ax -t- x' 4(x — 3) 4 (X -1- 1) ’

identité dont il serait facile de vérifier l'exactitude.

Pour pou qu’on réfléchisse sur la marche qui vient d’être suivie, on voit qu’elle peut s’étendre au cas où le dénominateur de ta fraction rationnelle serait d'un degré quelconque.

Après avoir résolu l'équation que l’on forme en égalant à zéro le dénominateur, on pose

a -I- 6x -*- '/x’-)-. . . -4- ix" ABC a -f- b X y . .-I- JT* x — p x — q x — r

on chasse les dénominateurs, puis on transpose tous les termes dans un

CHAPITmB TIII.

même membre, en ordonnant par rapport ê x. Égalant à zéro cbacnn des coefficients des diverses puissances de x, on obtient ainsi autant d’équations, toutes du premier degré, qu'il y a de quantités A, 6, C, . . . à déterminer; d'où l’on déduit alors les valeurs de ces quantités.

Mais cette méthode, très-simple pour le cas où le dénominateur de la fraction proposée est du deuxième degré seulement, entraîne dans des calculs assez compliqués lorsque le degré est un peu considérable. Toutefois les équations qui doivent servir ù déterminer A, B, C,. . . sont toutes du premier degré.

La méthode qui va suivre est plus élégante, et elle a surtout l’avantage de donner les valeurs de A, B, C chacune séparément.

381 . Désignons, pour abréger, par établissons, comme précédemment,

f(x) ABC

Si l’on chasse les dénominateurs, il vient

et comme cette équation doit exister quel que soit x, on peut y faire alternativement X = /?, X = y, X = r, . . . ; ce qui donne immédiatement

Dans le cas particulier traité par la première méthode, on trouve surle-champ

f(p) g f(g) „ g-t-ëy

382. Cas exceptionnel. — La seconde méthode, ainsi que la première, peut toujours être employée tant que les racines de F(x) = o .«ont inégales [réelles ou imaginaires) ; mais l'une et l’autre sont en défaut toutes les fois que F(x) = o renferme des racines égales. En effet, si l’on suppose, par exemple, /> = y, les valeurs de A, B se réduisent à A B=^.

fraction à décomposer , et

découfositioü des raACTions rationnelles, etc. 539

Le cas des racines égales exige donc que l’on ait recours à un autre mode de décomposition.

Soit d’abord

F(x) = (jr—p)"; il est bien évident qu’alors on ne saurait poser /(x) .A B C

puisque le dénominateur du second membre no peut être que x — p, tandis que celui du premier membre est (x — /?)"■; mais, si l’on établit

F(x) (x — pY' (x — (x — /■>)“■■’ X — p'

cette égalité n’oITre rien que d’admissible.

En chassant les dénominateurs, on obtient

d’où, en faisant x = ^,

A =/(/»), ou bien A = «-+- 6/> -i- . .-t-

A'assons à la .détermination de B. Pour cela il est nécessaire de remplacer /(x) et A par leurs valeurs dans l’équation (i), puis de transposer celle de A dans le premier membre ; il vient ainsi

ou, supprimant le facteur x — p dans les deux membres,

(a) 6 H-7(x -t-^) + ^{x*-+- px ■^p') -f-.. . = B-t- C(x — p)

Faisons, dans cette égalité, x = il en résulte