h^(x if>H-... = C-+-D(x

AlS- B.

53o CSAPITBB TIII.

égalité qui, par l'hj’potlièse x = p, se réduit à 7-+-3J/>-i-...= C

En continuant ainsi, on parviendrait à déterminer D, E, . . . jusqu’à L inclusivement.

383. Considérons actuellement le cas général où le dénominateur renferme plusieurs espèces do racines égales et plusieurs racines simples, en sorte que l'on ait

f(x) étant toujours do la forme a -t- Sx -i-. . ^x*.

Posons alors

r(jr) X — P X — q (x — p)"^ (x — [*) x — //

[x — ii'Y'^ (x — q'f-''*' "^x — ./’

d’où, en chassant les dénominateurs,

f(x) - k(x — p)..;(x — p'Y(x — <fY---

Cela posé, on déterminera d’abord A, B, C,. . . comme au n® 381, en faisant successivement, dans cette dernière égalité,

x=zp, x = 7,...;

ce qui donnera

Yi-p)--A‘i — p'YYi — q'Y---'

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dScohposition des fractions rationnelles, etc. 53 1

après quoi, pour obtenir A', B',..., puis A", B',..., on pourra opérer comme au n° 383.

384. Scolie générale. — La décomposition des fractions rationnelles en fractions simples suppose, comme l’on voit, que l’on sache résoudre complètement toute équation d’un degré donné. Aussi cette question n’est d’une facile application que lorsque les racines de l’équation F(x) = o sont commensurables ; car on sait que les racines incommensurables, aussi bien que les racines imaginaires (*), peuvent rarement être obtenues sous leur véritable forme. Elle nous sera d’ailleurs utile dans le dixième et dernier Chapitre ; mais c’est surtout dans l’une des parties de r.\nalyse infinitésimale (le Calcul intégral) qu’elle trouve sa véritable application.

(*} L.1 recherche des racines imaginaires fera i'objet du premier paragraphe du Chapitre IX.