PREMIÈRE PARTIE

D£V0!<STIIATI0!< DC TKÉOaÊXB BüOKCtf AD 250(*).

Tout polynôme premier P (rationnel et entier) qui divise exactement le produit de deux autres polynômes rationnels et entiers divise nécessairement

Vun de ces polynômes.

Ce théorème général repose sur plusieurs autres propositions qui n*en sont que des cas porticulicrs, et que nous allons démontrer successivement.

t. pREMiea CAS. ~ Soient P un nombre premier, A un nombre entSer quel* conque, R un pol3rnôme rationnel et entier, mais dépendant d’une seule lettre a, c’est-à>dire tel que l’on ait

B = a et” -J- 6 a* *-+*.• 'H”

(a, c,. A, t étant des nombres entiers quelconques positifs ou négatifi).

Comme le produit A X B devient alors

Ka Cl* -f-Aé oc* * -+* Kc «*”* > .*4“ As et -t* A f,

et que P divise, par hypothèse, ce produit, il s’ensuit nécessairement (30) que P doit diviser chacun dos cocfScicnts Aa, A^, Ac,..., Ar, Af; donc il faut [drithm.t 39* édit., 129) que P divise A, ou qu’il divise chacun des nombres O, é, c,. . s, tf et, par conséquent, B.

D’où l’on peut conclure que

Tout nombre premier P qui divise exactement le produit A X B deux quantitéSf dont l’une A est un nombre entier quelconque et Vautre B un polynôme rsuionnel et entier dépendant d’une seule lettre a, doit diviser A ou B.

2. Dbdxième cas. ~ Soient P un nombre premier, A et B deux polynômes rationnels et entiers dépendant de la seule lettre œ, c'c8t«à*dire tels que l’on ait

Asfla* ca* . .•+"< ot

B = û’ ct*^ -+* V fit* * a’ oc ■+■

(u, b, c, . . A, t, a\ b\ c’y , a’, t' étant des nombres entiers).

(* ) Cette démonstration ttt due à M. Lefébure de Fourcy»

TrrTôogie

8DB LES POLYNÔMES RATIONNELS BT ENTIERS.

Désignons par A' l*cnsemble des termes de A, dont les coefficients renferment le facteur P, et par A* l'ensemble des termes dont les ooefûcients no sont pas dWisibles par P; il en résulte