AB = A' B' H- A"B'-+- A' B' -H A' B

G?la posé, puisque, par hypothèse, P divise chacun des coefficients de A' et de B', il s’ensuit que P divise les trois premières parties du second membre de l'égalité (3); donc, pour que P divise le produit AB, il faut nécessairement qu'il divise la quatrième partie A* B'. Or je dis que cette dernière division est impossible; car désignons par k* les deux termes de A* et de B", affectés du plus haut exposant de a; comme leur produit kk'oi^'^^ ne peut so réduire avec les autres prodoits partiels qui entrent dans A' B", il faut nécessairement (30), pour que P divise A* B", qu’il dinse kk' ; ce qui est absu^e, puisque le nombre premier P ne divise ni k ni A'.

Le seul moyen de faire cesser l’absurdité est de supposer A* ou B* égal h zéro; et alors, tous les termes de A ou de B étant divisibles par P, il s’ensuit que A ou B doit être divisible par P, pour que A x B soit lui-mèrae divisible par P.

Tout nombre premier P, qui divise exactement le produit A X B deux polynômes rationnels et entierSy fonctions d'une seule lettre^ doit diviser tous Us coefficients de l'un de ces polynômes^ et, par conséquent, ce polynôme.

3. Troisième cas. — Soient A un nombre entier quelconque, B un polynôme rationnel et entier, dépendant do la seule lettre a, P un polynôme premier, de même nature que B.

Puisque, par hypothèse, le produit A x B est divisible par P, on a l’égalité

(0 AxB = PxQ

(Q étant une quantité entière, numérique ou algébrique).

Décomposons le nombre A dans ses facteurs premiers, et soit

(plusieurs de ces facteurs pouvant être égaux); l’égalité (1) devient

W /<"^B=PxQi

d’où, divisant les deux membres par /,

NOTE

Or le premier membre de celle-ci étant une quantité rationnelle et entière, il doit eu être de mémo du second membre; mais f est un nombre premier qui ne peut diviser P, puisque P est premier: donc, en vertu du second cas, f doit diviser Q, cl l’on a Q = / x Q' (Q' étant une quantité entière); d’où, substituant dans rêgalité (3), et divisant par /,

(3) /'/^../^"’B=PxQ^

Raisonnant sur cette égalité comme sur l’égalité (3), on reconnaîtra de même que Q' =/' X Q" (Q" étant une quantité entière) ; d’où, substituant dans (3), et divisant par f\

(4) /V'^.../^"'b = pxQ"î

et ainsi de suite. Donc, après avoir supprimé successivement tous les facteurs

on parviendra enfln à une égalité de la forme

• B = PxQ<"^'\

q("+‘) étant une quantité entière, numérique ou algébrique; ce qui démontre que B est divisible par P. Ainsi

Tout polynôme premier (rationnel et entier) dépendant d'une seule lettre a, çui divise exactement le produit d'un nombre entier queleonque A par un polynôme rationnel et entier B, dépendant de la môme lettre a, doit diviser ce dernier polynôme.

4. Quatrième cas. — Soient A, B deux polynémes rationnels et entiers, dépendant d’une seule lettre a, et P un polynôme premier de même nature.

Supposons que A ne soit pas divisible par P, et admettons d’ailleurs que A soit de degré plus élevé que P ; divisons alors A par P, en poussant la division jusqu’il ce qu’on parvienne à un reste de degré moindre que P; mais, afin d’obtenir .au ({uotient des coefficients entiers, multiplions d’abord A par un nombre convenable m(ce nombre a généralement pour valeur le multiple le plus simple des dénominateurs des coefficients fractionnaires auxquels on serait conduit si l’on n’cflcctuait pas cette préparation). Désignons enfin par Q le quotient de la division, et par R le reste ; nous aurons l’égalité

t.j) iwA=PxQ-4-R.

(R doit être supposé different de zéro, car autrement il s’ensuivrait que P diviserait m. A et par conséquent A, en vertu du troisièmo cas, ce qui serait contre la supposition ci-dessus.)

Cela posé, multiplions par B, et divisons par P les deux membres de l’égalité (i); il vient

= BxQ-+-

BxR ■ ■ ■ • P

Or, P devant, par hypothèse, diviser A X B, et par conséquent m. A X B, il faut nécessairement que P divise aussi B X R; et si R est un nombre entier quelconque, la proposition est démontrée, puisque P, divisant B X R, doit diviser B, en vertu du troisième cas.