SUR LES POLTNÔMES RATIONNELS ET ENTIERS

Mais supposons que R soit lui-màmo dépendant de «, et divisons P par R, après avoir toutefois introduit dans P un facteur numérique m' propre à donner au quotient des coefiieients entiers; il vient encore

m'P = RxQ'-+-R'.

(R' doit être diiTcrcnt de zéro; car, si l’on avait R' = o, il s’ensuivrait que R diviserait m'.P, et, par conséquent, que tous les facteurs premiers algébriques de R diviseraient P, ce qui est impossible, puisque P est premier.)

Multiplions par B et divisons par P les deux membres de l’égalité (a); il vient

BxRxO' BxR'

égalité qui prouve que la divisibilité de B X R par P entraîne celle de B X R' par P. Si R' est indépendant de «, la proposition est démontrée, puisque P, divisant B x R', doit diviser B, d’après le troisième cas.

Mais supposons R' dépendant de a, et continuons de diviser P par R', par

R",..., et ainsi de suito; nous parviendrons bientôt à un reste R^”^ indéj>en-

daut de «, et tel que B x R^"^ aéra divisible par P. Donc, enfin, B lui-raème est divisible par P.

(Dans le cas où l’on aurait P de degré plus élevé que A, on diviserait P par A, puis P par R, R', R", cl les raisonnements seraient absolument les mômes.)

Ainsi, lorsqu'un poljrnôme premier P (rationnel et entier), dépendant d’une seule lettre a, divise exactement le produit A x, B de deux poljnômes rationnels et entiers qui ne dépendent que de la rneme lettre a, on peut en conclure que P divise exactement A ou B,

5. Il est maintenant bien facile de généraliser la proposition ; car, en supposant que les trois polynômes A, B, P puissent renfermer les deux lettres a, ê, on aura quatre nouveaux cas à considérer, savoir :

■ 1® P un nombre premier ou un polynôme premier dépendant de la seule lettre a ; A un nombre entier quelconque ou un polynôme rationnel et entier dépendant de la seule lettre «; B un polynôme rationnel et entier renfermant les deux lettres «, 6;

2® P un nombre premier ou un polynôme premier dépendant d'une seule lettre oc; A, B deux polynômes rationnels et entiers renfermant les deux lettres «, 6;

3® A un nombre entier quelconque ou un polynôme rationnel et entier dépendant d’une seule lettre a; B, P deux polynômes rationnels et entiers renfermant les deux lettres a, €, mais P un polynôme premier;

4® EnQn A, B, P trois polynômes renfermant les deux lettres a, ê, mais P un polynôme j)remier.

Si l'on applique à chacune de ces hypothèses des raisonnements analogues h ceux qui ont été établis aux n®* 1, 2, 3, 4, on parviendra à cette nouvelle proposition, que

Tout polynôme premier P (rationnel et entier) dépendant de deux lettres a, 6, qui divise le produit A X B de deux polynômes renfermant les deux mêmes lettres, divise nécessairement Tun des polynômes.

La proposition étant reconnue vraie pour le cas do deux lettres, on peut en-