DÉTERMINATION DES RACINES IMAGINAIRES

on pourra conclure que la proposée elle-même a au moins un facteur réel du second de^rc.

Môme raisonnement dans l’hypothèse où l’on aurait

Donc, enfin, toute équation de degré pair quelconque dont les coefficients sont réels a au moins un facteur réel du second degré.

Conséquence. — Il est facile de déduire de là que toute équation de degré pair est décomposable dans le produit d*autant de facteurs réels

du second degré qiêil y a d^unités dans — ou dans la moitié de son

degré.

En effet, puisqu’une équation de degré pair a au moins un facteur réel du second degré, on peut diviser son premier membre par ce facteur ; il en résultera une nouvelle équation de degré pair, à coefficients réels, qui aura encore au moins un facteur réel du second degré, par lequel on pourra diviser le premier membre de cette seconde équation ; et ainsi de suite. Donc le premier membre de la proposée pourra être regardé comme le produit d^autant de facteurs réels du second degré qu^il y a d'unités dans la moitié de son degré.

Si l’équation était de degré impair, comme, en vertu du théorème du n® 312, elle aurait au moins une racine réelle, on pourrait l’en débarrasser; et l’équation résultante serait décomposable en facteurs réels du second degré.

D’où l’on peut conclure, en dernière analyse, le théorème énoncé (383) ; savoir, que les racines imaginaires d'une équation vont par coupleSy et

sont toutes de la forme a±: b ^ — i.