Détermination des racines imaginaires des équations

La forme des racines imaginaires d’une équation étant connue, nous pouvons procéder à leur recherche.

Soit

a:” -f- P X"-' -4- Qo:’"-* . -H Tx ^ Ü “ O

une équation renfermant des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires.

Désignons par p -^q yf~- 1 l’une de ces dernières ; il vient, par la substitution de ce binôme dans la proposée,

{p 4- qyl—\Y-^ P (/^ 4- q I -4- . . .4- T (/? 4- 7 \f-—\ ) 4- Ü = O. Or, si l’on dévelopjKî les calculs et qu’on appelle M l’enscmblc dos termes

CBAPITIE IX.

réels, N l’enscmblo des termes imaginaires, l'égalité ci-dessus revient à M H- N v/— I = O, équation qui ne peut exister à moins que l’on n’ait séparément

M = o et N = O.

Observons actuellement que ces équations renferment les deux indéterminées P et 7, combinées avec les coefficients de la proposée. Si donc on cherche tous les systèmes de valeurs de p et de 7, en nombres réels commensurablcs ou incommensurables, propres à vérifier ces deux équations, et qu’on les substitue dans l'expression p ■+■ q\t — i, on obtiendra ainsi successivement toutes les racines imaginaires de la proposée.

Telle est la méthode générale pour découvrir les racines imaginaires. Nous ferons toutefois quelques remarques qui peuvent faciliter cette recherche, et qui sont d'ailleurs assez importantes en elles-mêmes.

38U. Su[)posons que, pour obtenir les racines réelles incommensurables d'une équation X =- o, on ait été obligé (3it) de former l’équation aux carrés des dilférenccs Z = o, et voyons le parti qu’on en peut tirer pour les racines imaginaires.

Désignons par a,b,c,... les racines réelles de X = o, et par

les racines imaginaires ; prenons d'ailleurs successivement les différences entre toutes ces racines considérées deux à deux. On en obtient do quatre espèces, savoir :

1° Les différences entre deux racines réelles, telles que a — b, a — c, b—e,...;

a” Les différences entre deux racines imaginaires conjuguées,

p-^q^—t—{p~q\/^) = iq\r^l, 37' v/^,

3° Les différences entre une racine réelle et une racine imaginaire a — p — qypT\, a—p-^q\fi^, b — p — q'

4° Enfin les différences entre deux racines imaginaires non conjuguées

p — p'-*- — ^—i,p — p' — {7 — Or, pour peu qu'on

jette les yeux sur ces différences, on reconnaît que les carrés des premières sont dos nombres essentiellement positifs; les carrés des secondes différences sont — 47’, — c’est-à-dire dc3 quantités réelles,

mais essentiellement négatives. Quant aux carrés des deux autres espèces, ce sont généralement des expressions imaginaires.

DtTEBHINÀTION DBS BiCmES IVÂGINIIHES. 553

Ainsi, en supposant déjà formée l’équation Z = o, les racines réelles et négatives de cette équation sont, en général, les carrés des différences entre deux racines imaginaires conjuguées.

Appelons donc — a, — 6, — 7,. .. ces racines, que l’on peut obtenir, soit par la méthode des racines commensurablcs, soit par la méthode des racines incommensurables ; on a

d'où l'on déduit

Connaissant les valeurs de 7, q', q’,. . on obtiendra celles de p, //, t)*, . . . , en substituant ± — ifâ, ± - ... à la place de q dans les

équations M = o, N = o, que l'on a établies dans le numéro précédent, et qui acquerront, pour chaque substitution, un commun diviseur en p, lequel, égalé à zéro, donnera les valeurs de p, p', p',. . ..

A la vérité, ce moyen est en défaut lorsque l'une des racines réelles de la proposée est identique avec la partie réelle p, p',... de l’une de ces racines imaginaires; car, dans le cas de a = ^, par exemple, les deux différences a — p — q\] — 1, a — p q v^— I SC réduisent à — qy/ — i et q v/— I, dont les carrés sont égaux à — q‘. Il est encore en défaut lorsque les parties réelles des deux racines imaginaircs'non conjuguées sont identiques; car, par exemple, p = p' réduit les différences

dont les carrés sont égaux à — {7 — q')’.

D’où l’on voit que l'équation Z = o peut quelquefois avoir des racines négatives qui ne représentent pas les valeurs de — 4?’, — iq'‘,- ■ • ; mais il est toujours possible de reconnaître si une racine négative telle que — a'

est une valeur convenable, à ce que, si l’on substitue ^ \ZôT' dans M et N,

il faut et il suffit que les deux polynômes en p, résultant de cette substitution aient un diviseur commun ; toute valeur qui ne satisfera pas à cette condition devra être rejetée comme provenant de l’une des circonstances dont nous venons do parler.

Nous observerons encore que, dans ces mômes circonstances, l’équa-

CIIAPITBE IX.

lion Z = O devrait avoir des racines égales, puisque, coinrao nous l’avons reconnu plus haut, dans 1 hypothèse de 0 = p, deux carrés au moins so réduisent à — 7’ ; et dans l'hypothèse de p = /V, deux carrés au moins so réduisent à — (7 — 7')’- Ainsi l’on pourrait, par la méthode des racines égales, débarrasser l'équation Z = o des valeurs différentes de — 47’.

Quoi qu’il en soit, on conçoit combien la méthode pour découvrir les racines imaginaires d’une équation doit être pénible et laborieuse tontes les fois que l’équation est d’un degré supérieur au troisième.

§ II. — RÉSOLimON DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR AD SECOND.

Nous avons maintenant une tâche importante à remplir, c’est de faire connaître les travaux des analystes sur le fameux problème de la résolution des équations générales de tous les degrés. Ce problème, qui a longtemps occupé les mathématiciens les plus célèbres, a pour but, étant tlonnée une équation générale et complète, d’obtenir les expressions de ses racines au moyen d’un nombre limité d’opérations algébriques effectuées sur les coefficients. Jusqu’à présent la question n’a été résolue que pour les quatre premiers degrés, et l’on doute si jamais on pourra parvenir à une résolution complète pour tous les degrés.

Quoi qu’il en soit, nous commencerons par exposer la plus simple de toutes les méthodes connues pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré ; ensuite nous ferons connaître d’autres méthodes susceptibles de s’appliquer avec plus de succès aux équations d’un degré supérieur.

Équation du troisième degré.

3S0. D’abord on peut supposer (260) l’équation privée de son second terme et ramenée à la forme

(i) x‘ -h px -t- q = O.

Faisons, dans cotte équation,

(a) ■ x-y-hz,

c’est-à-dire supposons x égal à la somme de deux autres inconnues (cette forme que nous donnons à la valeur do x peut être motivée sur ce que, dans l’équation générale du second degré, la valeur de x se compose aussi de deux parties distinctes).

RESOLUTION DE l’éQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ. 555 On obtient, en élevant l'équation (a) au cube,

3/’s-4- 3xz’-^- i’ = s^-4- 3j^{jr

OU bien et transposant

4r’=/’-i- z’-i- 3/2 X, x* —r 3/2 jr — /* — 2’ = O.

Pour que cette équation s’accorde avec l’équation (i), il faut et il suffit que l’on ait

d’où

Dès que ces deux conditions seront satisfaites, les valeurs do / et de a seront telles, que leur somme exprimera la valeur de x, propre à vérifier l’équation (1). Tâchons donc do déterminer/ et 2 d’après ces deux conditions.

L’équation (3), élevée au cube, donne

mais on a déjà

donc (114) les quantités /* et 2’ sont liées entre elles par l’équation du second degré

dont le second terme a pour coefficient la somme donnée — 7, prise en signe contraire, et le dernier terme est égal au produit aussi donné

Cette équation est appelée /a réduite de l’équation du troisième degré, parce que c’est de sa résolution que dépend celle de la proposée. L’équation (5) donnant