H i = — p, ab = q

HtTBODE DE BfiSOlUTIOM PAR LES F0KCTI0R8 SrVtTBlQDKS. 565 Si l’on pouvait obtenir une autre équation du premier degré en a et b, on aurait, pour déterminer ces quantités, deux équations du premier degré, et la question n’oflrirait plus aucune difficulté.

Désignons donc par la-t- mb la fonction de a et de é qui doit entrer dans la composition de cette équation inconnue; et posons

Ut mb = Z,

/, m, Z étant des quantités qu’il s’agit de déterminer.

Comme Ib ■+■ ma donne, par l’échange des lettres a et b, deux combinaisons différentes, la + mb et Ib ma, il s’ensuit (287) que l'équation qui donnera la valeur de z doit être du second degré et de la forme

(i) [z — [la -i- mb)][z — (/6-Hma)] = o;

et puisque cette équation est du second degré, il faut du moins faire en sorte qu’elle ne soit qu’à deux termes ou de la forme z‘=b, parce qu’alors une simple extraction de racine suffira pour la résoudre.

Or, pour qu’elle se réduise à cette forme, il faut et il suffit que les deux racines soient égales et de signes contraires.

Posons la condition

Ib ■+■ ma = — (fa H- mb) ;

il en résulte

(/-i-wi)(a-i-6) = o.

Mais on ne peut avoir a -t- é =: o, puisque le coefficient du second terme de la proposée est différent de zéro ; on a donc nécessairement

/ -+- m = o, d'où l = — m.

D'ailleurs la condition précédente suffit pour remplir l’objet que l'on s’était proposé; ainsi m reste indéterminé, et l'on peut faire, pour plus do simplicité, m = i , ce qui donne / = — i.

L’équation (i) devient alors

ou, réduisant

(a) z’— O* — é'-f-aaù = o.

Observons maintenant que la théorie des fonctions symétriques donne (292)

S, = « -I- é = — P, S, = — /?S, — ay = /)’ — ay, ab=-q. Substituant ces valeurs de a’-t- b' et de aaé dans l’équation (a), on

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