Soit 3d -f- px qt=o Véquation à résoudre
Puisque le second terme manque dans cette équation, on a déjà entrer, b y c la relation fl-f-è-+-c = o; si donc nous pouvions former deux autres équations du premier degré en a, h y Cy les valeurs de ces quantités pourraient être aisément déterminées.
Désignons par la-\-mb ne une des fonctions qui doivent entrer dans la composition des équations qu’il s’agit d’obtenir, et posons
( 1) la mb ne — Z.
Comme celte fonction donne six combinaisons différentes par l’échange des lettres a, by c les unes dans les autres, savoir
la H- mb - - ne y la-{- me -i- nby le h- ma -4- nby
et
Ib H- ma -H nCy Ib -h me h- noy le - mb -r- na^
l’équation d’où dépendra sa valeur doit être du sixième degré. Ür, pour qu’une équation de ce degré puisse être résolue d’après les principes déjà établis, il faut (378) qu’elle ne renferme que les exposants 6 et 3, c’est-à-dire qu’elle soit de la forme
(2) 2* -4- Az^-f- S = O.
Tâchons donc de déterminer les relations qui existent entre les six racines de celle dernière équation, afin d’en déduire celles qui doivent exister entre les six expressions précédentes.
Désignons par //', u" les deux racines que Ton obtient immédiatement
• l'.'Ki üyGooglet^
■tTHODI DE BtBOLDTIOH PAS US FORCTIORB STMtTUQDES. SGj
en posant d’où
u’-i- Abh- B = O, et u = — ~dt: — B;
appelons en outre i, a, a’ les trois racines cubiques de i : on a
1° z= * = au', f = a’u';
a° z = u', Z — au’, Z ~ a'u’.
Ainsi, en prenant la -t- mb ne ~ z' ni ta + me nb = ^ pour les deux combinaisons principales, si l’on veut exprimer que les quatre autres forment avec celles-ci une équation de la forme (a), il faut et il suffit que l’on ait les relations
1° fc -f- ma nb = a {ta mb /?c),
Ib -i- me -V- na ~ a' {la mb *- ne) ; a° Ib nui ne — a {,1a ■+■ me -r- nb),
le -t- mb na — a' [la -¥■ me nb).
( Il est à remarquer que l’on ne doit pas égaler indifféremment une quelconque des quatre dernières combinaisons au produit de a ou de a’ par la principale; mais il faut avoir soin que, dans la combinaison prise pour le premier membre de la relation, aucune des lettres a, b, c ne soit affectée d’un coefficient égal à celui dont elle est affectée dans le second membre; autrement on serait conduit à des relations qui impliqueraient contradiction.)
Les quatre relations précédentes peuvent être transformées ainsi :
(/ — an]c -i-(m — at)a-i-[n — am]b — O,
( / — a’m) 6 -t- ( OT — a'n ) c -i- ( n — a^l)a =: o,
[l — an)b -H (ra — al)a ■+■ {n — am)c -- o,
et ces conditions seront évidemment satisfaites si l’on a séparément
l = an, m = al, n -•= am,
Or celles-ci se réduisent à deux essentiellement différentes, savoir
En effet on a
m = at et n — a’/.
a’=i; d'où K = -7 et
568 , CBAPITBB IX.
donc m — oii revient à
m = d’où l = a’/n.
De même n — <x}l revient à
n — ~i. d’où l—cnni
enfin les mêmes relations, m — cal, n = a} l y divisées l’une par l’autre,
donnent
— = doù m — -n = ccn et m=:am, n a. a
Donc il suffit de considérer les deux relations
m — et l et « = «*/•
Comme ces relations donnent m et /i en fonction de /, et que / reste indéterminé, on peut supposer, pour plus de simplicité,
/ = I , ce qui donne m = a, « = a* ;
en sorte que les trois valeurs de /, /n, n ne sont autre chose que les racines cubiques de l’unité.
Substituons ces valeurs dans les deux expressions
la -h mb -f- = 2', la me nb = z'’ \
il vient
a -hetb a*c = x', a -h ac h- a’é = s".
On pourrait également substituer ces valeurs dans les quatre autres combinaisons, et former ensuite l’équation en z ; mais observons que, vu la forme (a) qu’elle doit avoir, ses six racines sont comprises dans les deux équations
z*= z'^= (flf -f- aé a*c)*, z’ = 2”= (ûf -f- ac h- a’é)’,
ou, ce qui revient au môme, dans l’équation unique »
[z*— {a etb-^ — (a -h ac H- a*é)’] = o.
Effectuant les calculs, et comparant les coefficients du produit à ceux de l’équation (2), on trouve
A = — [(«-♦- «é-f- a*c)**+- («f •+• ac — a’é)’],
B = (a + aé -t- a*c)*(« «c 4- a*é)*.
Si l’on remonte à la composition primitive de l’équation en z, on recon-
MÉTHODE DE RÉSOLCTIOH PAR LES POHCTIOR8 STMÉTRIQUBS. 56g naît que celle équation est symétrique en a, b, c; ainsi les coefScients A et B peuvent (295) s’exprimer au moyen des coefficients de la proposée, et la difficulté consiste à évaluer les diverses fonctions symétriques dont A et B se composent.
Avant d’aller plus loin, rappelons-nous que, t, a, a‘‘ étant les racines de l’équation J'* — I = o, l'on a
