Soit X* px‘-¥- çx -t- r = O l’équation à résoudre

Comme on a déjà la relation a-t-6-i-c-t-</=o, il faut lâcher d’obtenir trois autres relations du premier degré en a, b, c, d.

Désignons par /a -h Ib -t- me -+- nd l’une do ces fonctions, dont il s’agit de trouver la valeur. Puisque, en permutant les lettres a, b, c, d de toutes les manières possibles, on pourrait (U5) former vingt-quatre combinaisons différentes, il s’ensuit que la réduite en z serait du vingt-qua- > trième degré; ainsi nous devrions faire en sorte de la ramener à la forme

(0 Az'‘-4-Bz'4-C=o,

pour qu’elle fût résoluble à la manière de celles du troisième. Mais d’abord il est possible, à l’aide de quelques artifices d’analyse, d’abaisser son degré.

En effet, A, /, m, n étant des indéterminées, on réduit le nombre des combinaisons à elouze par la supposition de A = /.

Faisant ensuite /n = a, on obtient les six combinaisons

et

l(c -¥• d) -k- m[a b), /(é r/) -i- m{« c), /(é c) -I- m(a -t- rf);

toutes les autres rentrent évidemment dans celles-là.

Cela posé, puisque la nouvelle équation en z est du sixième degré, il faut tâcher de la ramener à la forme

(a) z‘-f-Az‘-+-Bz’-+-C = o,

ce qui exige que ses racines soient égales deux à deux et de signes contraires. Or il est évident que l’on satisfera à cette condition en posant / =: — m = I ; car alors les combinaisons précédentes deviendront

a -T- h — (e-Hf/), n -I- c — {é r/), a -t- d — (6-t-c),

et

Observons que les combinaisons placées sur une même ligne horizontale sont égales et de signes contraires; donc, en multipliant entre %ux les facteurs du premier degré en z qui correspondent à ces valeurs, on obtiendra pour la réduite

[z’ — (« -t- é — c — rf)’j X [z’ — (fl -I- c — 6 — rf)’]

CBAPITBK IX.

Cette équation étant évidemment symétrique en a, b, c, d, ses coefficients peuvent s’exprimer au moyen des coefficients de la proposée; mais on peut faciliter leur détermination par les considérations suivantes : D’abord {a ■+• b — c — d)', développé, revient à

( n -I- i -t- c dy — 4 ( arf -t- ée -t- bd).

Mais on a

n + h-\-r + d = o, et ab -¥• ae h- ad -i- bc bd cd = p; donc

— [a-h b — c — rf)*=4/> — i(ab -+-crf); on trouverait de même

— (a -I- c — b — rf)’=a 4/* — 4(<*e ■+■ W),

— (a-i-d — b — c)* =: — ^(ad bc).

Ainsi, soit posé

réquation en s se change en celle-ci :

[u — (ab ■+■ cd)] [u~ (ac-h W)] [« — {ad + éc)] = o,

équation de la forme u’-t-A’«’-4-B'u-f-C'=: o, et dont il ne s’agit plus que de déterminer les coefficients.

Or on a :

1* A'= — {ab + ac-i-ad+bc + bd-i- cd) = — p.

a” B' = {ab -t- cd) {ac bd) + {ab -h cd) {ad + bc)

-t- (ac -H bd) {ad ■+■ bc),

OU, développant et employant les notations,

B'=Ta’Ac.

Mais la première formule du n* 294, qui peut s’écrire ainsi :

’ Ta*é*c*—

devient, dans l’hypothèse de /> = a et ^ = 1,

T«>ér = S.(S,V-^S,S,-(S,)»-^aS. .

MtTHODE DE BÉ80LUTI0N PAB LES PONCTIONS BTBfiTBIQDES. 5^3

d'aillears, la proposée étant x* -+- /jx* -t-7x-i-r=o, 6na

S, = — P = o, S, =r — aQ = — 3/7, Sj= — 3R = — 3y,

S,= — QS,— 4S = 3/>’— 4r; d'où, substituant dans la valeur B'= Ta^bc,

3° C'= — [ab -h cd) (ac ^ bd) {ad -+■ bc),

cl en développant,

C'= — (Tn’6’c’-(- abcd x Ta’).

Or la seconde formule du n° 294, qui peut s'écrire ainsi,

Ta*é"c"= ^ ~ ^ ,

devient, dans le cas de /> =: 3,

Ta’é-c’=(®’>*-rJS.S,+ 3S..

D'ailleurs on a déjà trouvé

S,= o, S,= -3/>, S,= ~3ti, S,= 3;)’-4r;

d'où

Donc

S,= — QS, — RSj— SS,= — -xp'-h ^pr -I- 3ÿ'-*- ■xpr

= — 3/7* -(- &pr -H 3y’.

Ta’6V’= i3/7»-3</7r- 4/7’-t-i3^r-H6y’^

ou, en réduisant,

Ta’é’c’= q' — %pr.

On a enfin abcd, ou le dernier terme de l’équation, égal à r, d où abcd X Ta’ = abcd x S, = — 3/7r;

donc

C'= — 17’ -f- %pr ■+■ ipr = 4/7r — 7’.

Ainsi l’équation en u devient

u' — pu' — 4/7/ -t- 4/7T- — 7’ = O.

Remplaçant maintenant u par sa valeur tirée de l’équation (3), c'est-

à-dire par — ou plutôt par z -h /7, afin de conserver la réduite an