CHAPITRE IX

troisièine degré et d’avoir des coeffidenta plus simples, on obtient 6nalement pour résultat

équation identique avec la ridmte obtenue (39é) d'après la première méthode.

Si l’on désigne par z', z*, z* les racines de cette équation, 4z', 4a‘, 4** seront nécessairement les carrés des trois combinaisons

a b — c — f/, a«(-c — b — rf, a d — b — c,

puisque l’on a remplacé, dans l’équation primitive en z, z’ par 4z.

Ainsi l’on a pour valeurs de ces combinaisons

CT-fi — c — d — ±1 yfr' , n-f-c — b — f/=dza v^.

Combinant ces trois relations avec l’équation déjà établie a-^-b-v-c-^-d = o,

on trouve premièrement, par leur addition,

4a= ±av/?±ay^±av/?,

d’où

Secondement, ajoutant la première et la quatrième, puis soustrayant de leur somme celle des deux autres, on obtient

d’où

4t = ± ay/?:p ay/z":^ Ry/î”, é= ±iy/?qziv/?zpiv^';

on trouverait, par des moyens analogues,

c=:,= iy/?.bly/?ZT:iy/?, f/= zp i y/?::p iy/?± i y/7'.

Mais il se présente ici une difficulté analogue à celle que l’on a ren-

H&THODE DE RÉSOLUTION FAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES. S'jS

contrée dans l’emploi de l’autre méthode : elle est relative aux signes dont les radicaux doivent être affectés. Pour déterminer ces signes, il suffit de former le produit des trois combinaisons

Or, en les multipliant, on obtient pour produit • Tn* — Ta’é -(■ aïaéc;

et comme

Tû*=S,= — 3^, Tfl’é — S,S| — S,= 3^, Taic=— y, il en résulte

ce qui prouve que les radicaux i/?, v^, doivent être affectés de signes tels que leur produit soit positif si q est négatif, et négatif si q est positif.

On retombe ainsi sur les mêmes valeurs que celles qui ont été obtenues par la première méthode.

399. Scolie générale. — En appliquant la même méthode à l'équation du cinquième degré, on devrait chercher la valeur d’une fonction de la forme Aa -h /é fc -t- md ■+■ ne. Comme les cinq lettres a, b, c, d, e fournissent a4 x 5 ou lao permutations différentes (145), il s’ensuit que la détermination de cette fonction dépendrait d’une équation du cent vingtième degré, dont il faudrait ensuite, .*1 l’aide de quelques artifices d’analyse, faire en sorte d’abaisser le degré; mais jusqu’ici les efforts que l’on a tentés pour obtenir une réduite convenable ont été infructueux ; et l’on doute si jamais on pourra y parvenir, à cause de la longueur et de la complication des calculs.

Depuis longtemps les analystes ont cru devoir renoncer au problème de la résolution générale des équations, problème qui ne peut être d’aucune utilité dans les applications numériques; le seul avantage qu’offriraient les résultats serait do confirmer la proposition hypothétique (235) : Toute équation a au moins une racine.

CniPlTRB X.