CHAPITRE X

COMPLÉBIENT DE \A THÉORIE DES SUTTES

§ I. — Dbs séries récurrentes.

400. Nous avons vu (i83) que les fractions algébriques rationnelles de

nature particulière, connues sous le nom de séries récurrentes. Or on * peut se proposer, sur ces sortes de séries, deux questions analogues à celles que nous avons résolues pour les progressions par quotient, qui * sont d’ailleurs elles-mêmes (198) des séries récurrentes du premier ordre.

La première question a pour objet de déterminer le terme général dhtne série récurrente, c’est-à-dire une expression à l’aide de laquelle, le rang d’un terme étant donné, on puisse obtenir la valeur de ce terme sans être obligé de former d’abord tous ceux qui précèdent.

La seconde a pour but de revenir de la série récurrente à la fraction génératrice, ou, ce qui est la môme chose, de déterminer la somme des termes de la série.

Nous supposerons que l’on ait revu avec attention ce qui a été dit aux n“ 183 et 184 sur les séries récurrentes.

Première question. — Détermination du terme général.

401. Pour passer du simple au composé, considérons, en premier lieu, la fraction — î qui, comme on sait, donne naissance à une série

fl -+- O X

récurrente du premier ordre.

On a trouvé (1T9)

Or cette série n’est autre chose qu’une progression par quotient dont le

la forme

a a-h bx

• donnent lieu à des séries d’une

premier terme est et la raison — — x; donc, d’après ce qui a été dit au n" 192, le terme général de cette série, ou le terme, est

DËTBaHINATlON DU TCBVE GfiNÉBÀL d’l'NB S£BIB, BTG. 5']’]