ADDITION
ia multiplication et la divUinn algébriques, opérations que nous allons maintenant développer.
Remarque. — Comme celles-ci doivent offrir à l’esprit des élèves la même idée que les opérations analogues de l'Arithmétique, nous nous dispenserons d'en répéter les définitions, qui doivent être suffisamment connues de tous ceux qui ont vu l'Arithmétique avec soin. On conçoit toutefois que les procédés ne peuvent plus être les mêmes, puisque les symboles sont différents. Tantêt ces opérations se réduisent à de simples indications, tantôt il y a lieu réellement à les effectuer, et alors il faut des règles correspondantes aux symboles que l'on emploie.
DE l’addition algébrique.
13. Soit d’abord à ajouter les expressions 3a, 5ô, %c\ on a, pour le résultat de cette addition, 3a -h 5ô -t- ac, expression que l’on ne peut simplifier davantage.
Soit encore à ajouter les monômes aa’i’, ■ja‘b‘\ le résultat est 4a’ô*-t- a a’b‘-t- 7 a’ b', ou réduisant (12) i3a’ô’.
Proposons-nous maintenant d'ajouter les polynômes
3a’ — iab, aa’ — 3nb-i-b’, %nb — bb^.
Pour former un seul polynôme qui exprime la somme de ceux-ci, observons qu’ajouter au nombre exjlHmé par 3a* — ^ab, le nombre exprimé par aa’ — 3ai -1- i’, c’est y ajouter la différen^entre le nombre d’unités exprimé par aa’-n é’, et le nombre d’unités ^rimé par 3aô, opération que l’on ferait aisément, si l’on attribuait des valeurs particulières à a et b\ mais comme on ne saurait l’exécuter dans l’état actuel des quantités, on remarque qu’il revient au mêmed’ajouter d’abord aa’-+- ô’ à 3a’— 4aô, et de retrancher ensuite 3aô; ce qui donne
3 a’ — 4 ab -4- aa’ -t- ô’ — 3aô,
ou, en changeant l’ordre des termes (9),
3a’ — ^ab -t- aa’ — 3aô -H é’.
De même, pour ajouter lab — 5ô’ à cette dernière expression, il suffit d’écrire 3 a’— 4aô-+-aa’ — 3aô -1- i’-t- aaé — 5ô’; il ne s’agit plus actuellement que de faire ( 12) la réduction des termes semblables, et il vient enfin 5a’— 5ab — 4Ô’ pour le résultat demandé.
Comme des raisonnements analogues pourraient s’appliquer à d’autres polynômes, on est en droit de conclure cette règle générale pour l’addition de deux ou plusieurs polynômes : Écrivez les polynômes pro/josés les uns
CHÀPITIII PBBMIBS.
à la suite des autres, en conservant aux termes qui les composent leurs signes respectifs ; puis, faites la réduction des termes semblables , s'il y a lieu.
Voici quelques exemples :
i”" 3rt’ — inb — xi’ 2° 7n’i — ‘iabc — 8iV — gc* -s-cd'
-t-Sn’-Haoi — i’ -f- 8nic — 5n’i ■+- Sc* — ^b'c-{-cd^
-<-3«i — xi’ — 3r’ -l-4«’i — 8r’ -t-gi’r— 3f/’
8a’-(- ai — 5i’ — 3c’ 6a'b-t-babc — 3i’c — i4c’ -t-xcr/’— 3(/’.
Dans la pratique, on dispose ordinairement les quantités proposées les unes sous les autres, comme on le wit dans ces deux exemptes ; on fait la réduction des termes semblables, et l’on écrit avec leurs signes respectifs les résultats de la réduction. Ainsi, dans le premier exemple, en considérant le terme 3a’, comme ce terme est semblable au terme 5a’ qui se trouve sur la seconde ligne, on écrit 8a’ pour le résultat de la réduction de ces deux termes, qu’on a soin de barrer légèrement (comme on le voit pour le terme). Passant ensuite au terme — 4ai, on le réduit avec les termes s- ^ah et 3ai, ce qui donne -t- ai, qu’on écrit à la droite de 8a’, et l’on barre les nouveaux termes qu’on vient de réduire. On continue ainsi l’opération jusqu’à ce que tous les termes soient barrés et réduits.
Le léger trait qu’on passe sur les termes sert à prévenir l’omission de quelques termes dans le résultat ; les termes non barrés sont encore à réduire.
DE iJP SOUSTRACTION ALGÉBRIQUE.
14. Soit à retrancher 4i de 5a; le résultat algébrique est 5a — 4i. De même, la différence entre qeéb et 4«’i est qa'b — éa’i, ou 3a’i.
Soit maintenant xi — 3c à retrancher de 4« : on peut d’abord présenter le résultat de cette manière, 4« — (ai — 3c), en admettant la quantité à soustraire entre deux parenthèses et l’écrivant à la suite do la première quantité avec le signe — . Mais les questions exigent souvent que l’on forme un seul polynôme de cette expression ; et c'est en cela que consiste principalement la règle de la soustraction algébrique.
Pour parvenir à ce but, on observera que si a, i, c étaient donnés numériquement, on ferait 1a soustraction indiquée par xi — 3c, puis on retrancherait le résultat obtenu, de 4a; comme cette soustraction ne peut être effectuée dans l’état actuel des quantités, on commence par retrancher xi de 4o, ce qui donne ^a — ib \ mais en retranchant xi unités, on a soustrait un nombre trop fort de 3c unités; il faut donc rectifier le résultat en y ajoutant 3c. Ainsi l'on a 4" — ib -s- "ic pour le résultat de la soustraction proposée.
SOUSTRACTION. l3
Soit encore Sa'— iab-t-'ibc — à soustraire de Sn'—iab\ cette opération peut être indiquée ainsi ;
8a’ — aai — ( 5a’ — ^ab -h Sic — b').
Mais, pour réduire cette expression à un seul polynôme, observons que retrancher 5a’— 4oô -i- Sbc — b' revient à retrancher la différence entre la somme 5a’-t- 3ôc des termes additifs, et la somme 4afn- ô’des termes soustractifs. On peut d'abord retrancher 5a’ -f- Sbc, ce qui donne
8a’ — aaô — 5a’ — Sbc\
et comme ce résultat est nécessairement trop faible de iab -h b', il faut y ajouter cette dernière quantité, et il vient
8a’ — lab — 5a’ — Sbr -h l^ab -h b',
8a’ — "xab — 5a'-h ^ab — Sbc ■+- b', en rétablissant l'ordre des termes ; ou bien enfin, en réduisant,
3a’-i- lab — Sbc -i- A’.
D'où l’on peut conclure cette règle générale :
Pour soustraire deux polynômes l'un de l'autre, écrivez à la suite du polynôme dont il faut soustraire, l'autre polynôme en changeant les signes de celui-ci, et faites la rédaction du fmlynôme résultant, s’il y a lieu.
On trouvera, d’après cette règle, -
-(3«’A-ao’-8A’c)l = 7“^-7"^-
4aA — cd -~^b' Sfi' I , 1 1 CCI
-(5aA- 4r^ 3A’-f.3a’) \ ab-^Sed Sb .
15. On peut aussi, d'après cette même règle,, faire subir à certains polynômes quelques transformations.
Par exemple,
6a’ — 3aA -i- aA’ — aA<-
revient à
6a’ — (3aA — aA’ aAr).
De même
ya’ — 8a’ A — ^b'c ■+■ 6 A*
revient à
ya’ — (8a’A -i- 4 A’c — 6A’),
ou bien encore à
ya’ — 8a’A — {^b'c — 6A’).
Ces transformations, qui consistent à décomposer un polynôme en deux
