CHAPITRE X

pq=zr'-l-i^, (r’-t- j’)", p^-' tf-' = {r’ + s')'-' ,

P — q = p' — tf = (r -+-J y/ — 1 )" — (r — s y/ — i )" = a^\/^

(on développant par la furmulo du binôme et réduisant); enfin — q'~' = a/' y/ — I.

Le terme général devient donc

xk y/— I

a 6 X ' yX — i

r ■ , 6^' ly.-.

expression tout à fait débarrassée d'imaginaires.

40.'). Remarque. — En réfléchissant sur la marche que l’on a suivie pour la détermination du terme général relatif à une série récurrente du second ordre, on aperçoit facilement que la question est ramenée à la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples; problème qui a été résolu à la fin du Chapitre VUl (n" 379 et suiv.).

Tant que les racines du dénominateur égalé à zéro seront inégales, la

décomposition en fractions de la forme ;

J. pourra toujours être opérée ,

et la détermination du terme général se réduira à celle d’un terme général d'une série récurrente du premier ordre. Mais s’il y a des racines égales, ou sera conduit à la recherche du terme général d'une expression telle que

0“ — -zst’ I >

(x-pf

ce qui est toujours facile par l’application de la formule du binôme. Toutefois, pour no rien laisser à désirer, il reste à indiquer comment on peut arriver au terme général d'expressions telles que