Soit d’abord l’expression

■n ) qui revient a

(x-/))> A(x -/))-» ou

SOaHATIOIf DES SÉRIES RÉCORSEETES.

On a

et le tonne général de cette série est évidemment

ou, en simplifiant,

Donc !c terme général de l’expression proposée est

3—^ ou bien S

P 2 /V ‘ 2 pé^

De même,

(x — pY

revient à

\ pj P 2 />’ 2.3/1

série dont le terme général est

ou, en réduisant,

Donc on a, pour le terme général do l’expression proposée.

/>* 2.3 ff-' 2.3 pé*‘

et ainsi de suite.

Ainsi nous pouvonsaregarder comme résolu complètement le problème de la détermination du terme général d’une série récurrente.

Seconde question. — Sommation des séries récurrentes.

Cette question se divise en deux Parties ;

Ou l’on demande la somme des termes de la série tout entière, c’està-dire la fraction génératrice qui a donné lieu à cette série, ou bien la somme d’un nombre limité de termes.

La première Partie est la plus facile à traiter.

CBAFITBE X.

407. Première Partie. — Soient A, B, C, D, E,’F,... les termes d’une série récurrente; et, pour Gxer les idées, supposons que la série soit du troisième ordre ; mais ce que nous allons dire s’appliquera aisément à une série d’un ordre quelconque.

La méthode est analogue it celle qui a été suivie (193) pour les progressions par quotient.

Désignons par p, </, r les quantités qui forment l’échelle do relation, c’est-à-dire les quantités constantes par lesquelles il faut multiplier C, B, A pour former D; puis D, B, C pour former E, et ainsi de suite ; on aura les relations

D = Cp -i- Bÿ -e A/',

E = D/J 4- C<7 -I- Br,

F = E/J -I- D^ ■+■ Cr,

G = F/> Ky -4- Dr,

Ces relations sont en nombre indéfini ; donc, si on les ajoute terme à terme, et que l'on appelle S IA somme ou la fraction génératrice cherchée, on obtiendra

S - A - B - C =/j(S - A - B) -4- j/(S - A) rS,

d’où l'on déduit

En suivant la même marche pour les séries du premier, deuxième, quatrième, etc. ordre, on peut former le tableau suivant ;

Premier ordre

Deuxième ordre •

) s ./jA-(A-i-B)

Troisième ordre

Quatrième ordre

g /)(A-^B-f-C)-t-7(A-f-B)-t-rA-(A-t- B -f- C -i- D) .

P -<r <! -\- r -ir s — I ’

et ainsi de suite.

SOaSATlON SIS SfiKIES SÉCDSRBIITE8.

Soit pour exemple la série du troisième ordre

i — ax^-3j:’ — lox*-)- 22x‘ — 5i.r'-i- laSx* dont l’échelle de relation sc compose de l’ensemble des quantités

( — X, -I- ax’, — 3x^);

on trouve, en appliquant la formule (3)j et observant que l’on a

ax, C = 3x’, p = — X, y = -h ax% r = — 3x*,

2x)-+-ax’ — I + ax — 3x’ i — x — x’ x-f-ax’— 3^ — 1 J -f- X — ax’-i- 3x^

Il arrive quelquefois que, dans la série proposée, les deux ou trois premiers termes ne sont pas compris dans la loi de récurrence. Cela provient (184) de ce que, dans la fraction qui lui a donné naissance, le degré du numérateur est plus élevé que celui du dénominateur. Dans ce cas, pour obtenir la fraction génératrice, on commence par faire abstraction des termes dont on vient de parler; puis, après avoir obtenu, d'après les formules précédentes, la somme des autres termes, on y ajoute les termes dont on avait d’abord fait abstraction, en ajimt soin de réduire le tout en une seule expression fractionnaire.

408. Seconde Partie. — Dans les formules précédentes, il n’entre ([ue les premiers termes de la série et les quantités qui forment l’échello de relation ; mais, si l’on demande l’expression de la somme d’un nombre déterminé de termes, il faut en outre connaître les derniers termes de la série.

Soit encore une série récurrente du troisième ordre, dont les premiers termes sont A, B, C, D, E,. . ., l’ échelle de relation {/), y, r), et les derniers termes K, L, M, N. «

Puisque la série est du troisième ordre, on a les relations

D = Cp -H By H- Ar,

E = \)p -t- Cy -I- Br,

F = 'Ep -f- Dy -h Cr,

N = M/> -H Ly Kr.

Le nombre de ces relations est limité et égal au nombre des termes dont on cherche la somme, diminué de trois.

Cela posé, en les ajoutant terme à terme, et désignant par S la somme

584 CHAPlTItB X.

cherchée, on a évidemment

S-A-B-C=/>(S-A-B-N)+;7(S-A— N-M)-+-/-(S-N-M — L); d'où l’on lire

g /7(A-4-B-t-N)-H7(A-t-N-HM)-Hr(N-i-M-i-L)-(AH-B-t-C)

On pourrait également obtenir les sommes relatives à une série récurrente d’un ordre quelconque.

En comparant cette formule avec la formule (3) du n° 407, on voit ;

1° Que celle-ci se déduit de celle que l’on vient d’obtenir en négligeant tous les termes affectés de L, M, N,. .

a° Que, pour appliquer la formule (3)-, il suflit, comme nous l’avons déjà dit, de connaître les trois premiers termes et l’échelle de relation; tandis que, pour faire usage do la formule précéilentc, il faut absolument avoir les expressions dos trois termes qui précèdent celui auquel on a arrêté la série : ce qui exige que l’on sache trouver le terme général de la série, c’est-à-dire l’expression d’un terme do rang quelconque, question qui devient très-compliquée quand la série est d’un ordre un peu élevé.

409. Au reste, les formules relatives au cas de la somme d’un nombre déterminé de termes s’appliquent principalement aux séries récurrentes numériques.

Soit, par exemple, une série récurrente du troisième ordre, dont les trois premiers termes étant i, a, 3, le suivant est égatau double du troisième, augmenté do la somme des doux premiers; le cinquième est égal au double du quatrième , augmenté do la somme du troisième et du deuxième ; et ainsi de suite. Le développement de cotte série sera

Cela posé, pour obtenir la somme des onze premiers termes, on fera, dans la formule ci-dessus,

N = 6aa7, M = 2445, L = 96o;

ce qui donnera

XX 6a3o -+- 8G73 -t- q63a — 6 ,,

Si l'on demandait la somme d’un plus grand nombre de termes, par

SOHATION SES SfilIES HÉCURREirrES. 585

exemple la somme des cinquante premiers termes, il faudrait pousser la série jusqu'au cinquantième inclusivement, ce qui ne laisserait pas que d'étre fort long.

Ou bien il faudrait former directement les quarante-huitième, quarante-neuvième, cinquantième termes, d'après l’expression du terme général. Or, pour obtenir celui-ci par la méthode exposée précédemment, on commencerait par mettre la série proposée sous la forme

on rechercherait la fraction génératrice qui a donné lien à cette série, et on la décomposerait ( 402 ) en trois fractions simples pour chacune desquelles on obtiendrait un terme général. Faisant ensuite la somme de ees trois termes généraux, on aurait eclui de ta série n-ax-i-3.r enfin on supposerait x — i, ce qui donnerait le terme général ile la série i-i-a-(-3-t-9-i-a3 -+-.... Mais il est facile de s'assurer que tous ces calculs sont souvent impraticables.

En effet, si l’on applique la formule (3) du n° 407 à la série

i S- IX S- 3a:’-i- . .,

en y supposant

A = i, B = ax, C = 3x’, P = 2X, q — x‘, r=x‘, on aura

Or l’équation x’-i- x*-i- ax — i = o ne peut évidemment avoir quo des racines incommensurables; ainsi la décomposition de la fraction

- — ^ ^ en fractions simples ne peut se faire d’une manière

exacte. •

Ces réflexions prouvent que certains résultats analytiques, simples en théorie, sont quelquefois peu susceptibles d’application.

410. Nous terminerons la théorie des séries récurrentes par l'exposition d’un moyen dû à Lagrange, pour reconnaître si une série pro/msée est de la nature des séries récurrentes.

Ce moyen est fondé sur les observations suivantes :

1° Si la série proposée, que nous désignerons par S, est une série récurrente du premier ordre, elle provient d’une fraction de la forme a

CBAPITM X.

Or on a

/i' + li'x a' b'

ce qui prouve que la fraction renversée, ou, ce qui revient au même, l’unité divisée par la série proposée. S, doit donner pour ijuotient une fonction entière de x (230) égale it p + qx. Si cette division ne se fait pas exactement, c’est que la série (en supposant qu’elle soit récurrente) est du second ordre ou d’un ordre supérieur.

2° Si c’est une série récurrente du second ordre, elle provient d’une

fraction de la forme , -, î or on a

a + b X -t- e xè

rt’ -t- // X -H r'x’ n' ab' — bd cèc' — b{ab — ha'] ,

a -h bx ~ a a' a’(n -t- bx)

ou

p qx +

a-t-bx^ ’

ce qui prouve que l’unité, divisée par S, doit donner lieu h un quotient entier de la forme p + qx, plus un produit de x’ par une série récurrente du premier ordre, c’est-à-dire que, en désignant par S'x* le reste auquel on parvient après avoir divisé i par S et obtenu le quotient p -i- qx,

on doit trouver p égal à un quotient exact de la forme p ■+■ <fx-, et ainsi de suite.

4H. Guidé par ces considérations, Lagrange a donné la règle suivante pour reconnaître si une série proposée est récurrente.

Soit S = A -1- Bx -t- Cx’-i- Dx’-h. . . cette série.

Divisez l'unité par S, et poussez l'ojiération jusqu’à ce que vous ayez un quotient de la forme pk'-y-qx, et tel que S'x’ (S' désignant une série indéfinie de la forme A'-i- B'x C'x’-t-. . .).

2° Divisez S par S', et poussez l’opération jusqu’à ce que vous ayez un quotient do la forme /?'-(- q’x, et un reste tel ([ue S'x’ (S“ étant égal à A" -t-BV-t-Cx’

3° Divisez S' par S", et poussez l’opération jusiju’à ce que vous ayez un quotient de la forme p’ q'x, et un reste tel que S"x’.

4° Divisez S’ par S*", et poussez l'opération jusqu’à ce que vous ayez un quotient de la forme de p" -i- q" x, et un reste Sx'”, et ainsi do suite.

Dès que l’une do ces dissions se fait exactement, la série proposée est récurrente, et l’ordre de la série est marqué jiar le rang de la division qui s’est faite exactement. •