CHAPITRE X

Prenons pour exemple la série

dont chaque terme s’obtient d’après l’expression générale

n désignant le rang du terme que l’on veut former.

Pour reconnaître si cette série est récurrente, on la mettra d’abord sous la forme

I -t- 3x + 6x’-f- iox*-t- iS.r* ai x*-f- 28x*-i- 36x'-t- 45x*-i-. . . .

Cela posé, en appliquant la règle ci-dessus, on trouve

S' ayant pour développement

3 -+- 8x i5x’-t- a4x*-i- 35x* -t- 48x*-+- 63x*-t- 8ox’ ■+■ pgx*-!-. .

(S'= I -H 3x -H Gx* -I- lox* ;

S' ~ I -H 3x -I- 6x’-i- lox* ‘ ~

quotient exact.

Ainsi la série est récurrente et du troisième ordre.

Pour obtenir l’échelle de relation, rapprochons les équations

nr — — x-t- —

la dernière donne

S7 = 5 ) dou 1 :

et par conséquent

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donc enfin

MOMBBES FIGIIKÉS.

Ainsi l’échelle de relation do la série i + 3x -1- Gx’ -f- ... se compose des quantités (3x, — 3x’, -t-x*), et l’échelle de relation de la série proposée, n-3 + 6-t-io est l'ensemble des nombres (3, —3, -t-i), ce qu’il est facile de vérifier.

Par exemple, le terme 28 se compose de la somme des produits des trois termes 21, i5, 10, multipliés respectivement par 3, — 3, -h 1.

N. B. — On voit encore que la règle précédente donne le moyen de retrouver l’échelle do relation d’une série récurrente, quand la trace en a été perdue.

§ II. — Des séries de nombres figurés et de celles QUI en dépendent.

Il existe encore une certaine classe de séries pour lesquelles on peut obtenir facilement le terme général et l’expression de la somme d’un nombre limité de termes : ce sont les séries numériques qui tirent leur origine d’une progression par différence.