CHAPITRE X

Donc

Et, en effet, x -1- x’-i- x*-+-. . . est une série récurrente dont la fraction génératrice est (410) ■ ^

Ainsi l'on a

r = — d'où l'on tire x = —

Or, en développant cette dernière expression en série par la division, on trouve

Soit, pour second exempte, l’équation , , X x’ x’ X*

dont le .second membre n'est autre chose que le développement de e* (voir n“ 220).

En faisant^ — 1 = s, on a

Posons alors

(2) .r = Ai -e Bz’-*- Dz‘ -I- . . . .

En formant, ù l’aide de l’identité (i), les diverses puissances de z, puis substituant leurs valeurs dans l’identité (2), on sera conduit aux équations suivantes :

A— 1=0, — hB = o, ^-t-B-+-C = o, -T-*-- 1 -^D = o,...;

d'où l'on déduit

Donc le développement de .r en 3 est

n * rv *

ainsi l'on a, pour celui de xen^-,

(r-i) Lr-i)V (r-i)’

SÉRIES TRIGOEOMÉTRIQDES. Sgg

Obserrons d'aillours que l'équation y donne (208) dans le système ■épérien

x — l.y, donc l.jr

Cr— ') (r— i)’ , (r— i)’ (.)■ — 1)‘

Tel est, en elTet (225), le développement en série du logarithme naturel d'un nombre.

La méthode inverse des séries est d’un usage peu fréquent, parce qu’il est dilTicile de reconnaître, d’après la nature des calculs, une loi de formation |X)ur les coeflicients; et l’on est souvent obligé de déterminer un grand nombre de coefficients avant de pouvoir saisir cette loi.

421. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur cette méthode par la rcnianjuc siiirante :

Si l’on a une équation de la forme

ar -+- i/’ -t- cjr* -h. ..= a'x -t- b'x' -t- c'j^

formée par deux séries, et qu’on veuille exprimer en x par une série telle quej^= Aj: -h Bx’-i- Cj’-h. . il faut, pour obtenir A, B, C,..., former les diverses puissances,^’, à l’aide do cette dernière équation, puis les substituer dans la première, ce qui donne alors une équation identique en x, dont on égale séparément à zéro les coefficients correspondants.

Mais les calculs dans lesquels on est ainsi entraîné sont souvent impraticables, parce que les coefficients Â, B, C,... entrentdans les équations de condition à des puissances de degré supérieur au second.

§ IV. — Des SÉRIES trigonohétriques et circulaires.

Nous compléterons la théorie des suites par la recherche du développement des trois lignes trigonométriques princiiiales, sinx, cosx, tangx, suivant les diverses puissances de Tare x, séries qui servent à la confection des tables trigonométriques.

Développement de sinx et de cosx.

422. Pour résoudre cette question, nous partirons de la formule (cosrt -t- sina 1)"= cosma -t- sinmay/ — i, démontrée (380).

Si l’on développe le premier membre do cette équation d’après la formule du binôme, il est aisé do voir que le développement se compose de

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