IH
coso = I , d’où cos*"o = 1 ; donc, enfin, l’on obtient
COSX = I h
sinx =
C^) £n appliquant aux séries (Â) et (B) les principes établis à la fin du Cha* pitre VI {Note sur les séries convergentes^ il est aisé de reconnaître qu’elles finissent toujours par devenir convergentes.
En effet, le rapport d’un terme quelconque au précédent peut être exprimé
6o2 chapitre X.
424. Pour faire servir ces formules à la conslruction des Tables trigonométriques, il faut supposer : i® que l’on connaisse le rapport r = 3, i4i59'a6. . . de la circonférence au diamètre, ou de la demi-cir* conférence au rayon ; a® que x représente la longueur d’un arc d’un certain nombre de degrés, rapportée au rayon pris pour unité.
D’après cela, soit proposé de déterminer le sinus et le cosinus de l’arc d'une minute.
Comme la domi-circonférence dont le rayon est i a pour valeur 3,1415926..., il vient, pour le quart de circonférence, 1,5707963..., el pour l’arc de i', qui est le loooo*'"^ du quadrant dans la division centésimale, 0,00015707963. Il suffit donc do substituer dans les deux formules (A) et (B) cette valeur à la place de x, en calculant les deux premiers termes seulement; car il est visible que les autres seraient extrêmement petits. On i^eut même observer que, les termes étant alternativement positifs et négatifs, l’erreur commise s’estime (176) par le premier des termes que l’on néglige.
Prenons, par exemple, le premier terme x de la série relative au sinus,
pour exprimer sin i ; 1 erreur commise est moindre que ^ ^
Or on a
(0,00015707. ..)’< (0,00016)’, ou 0,000000000004096;
le sixième de cette expression est moindre que 0,000000000001 : donc la valeur do sin i ' ne diffère pas de l’arc lui-même dans les douze premiers chiffres décimaux.
En général, tant que x sera une fraction, ce qui aura toujours lieu si l’on considère un arc moindre que le huitième de la circonférence (ou 5o degrés), les deux séries seront très-convergentes, et un jietit nombre
pour la premicro série, par
et, pour la seconde, par
2n(an-4-i)
(« désignant le rang du terme h partir du second).
Or, X ayant une valeur finie et déterminée^ il est toujours possible do prendre n assez grand pour que le rapport soit uuc fraction; et cette fraction diminuera indéfiniment à mesure que n augmentera.
Ainsi ces séries rentrent dans le premier cas du n® 2 de la Note qui vient d'ôtre citée.
COMBINAISONS DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQCES, ETC. 6o3 de termes suffira pour donner des valeurs Irès-rapprochées de sinx et de C08X.
42S. Les séries (A) et (B) donnent lieu à des conséquences assez importantes, que nous allons déduire successivement.
Première conséquence. — En comparant ces deux séries
cosx = 1
sin X = —
à celle qui donne le développement de c‘ (229),
, X X xf X
un voit que leur somme donne cette dernière série, aux signes prés, de deux en deux rangs; mais si l’on remplace dans celle-ci x par xy^— 1 , et qu’on multiplie les deux membres de (B) par y/— i , on aura, en se rappelant que les diverses puissances de \/—i sont périodiquement
cos r 1/— I sinx = I H — I
X — .r xr ! X
-y/—! ôV — H
donc
cosx ■
. En changeant x en — x, et observant que cos (— x) = cosx, et sin( — x) = — sinx, on trouverait
cosx — y/— isinx;
ce qui donne enCn la nouvelle formule
(C) cosx ± I sinx.
N. B. — Les valeurs qu’on vient d’obtenir pour com-
binées par addition et par soustraction, conduisent aux deux formules
6o4 CHAPITRE X.
suivantes, qui sont employées assez fréquemment :
cosx = ^ -t-
sinx = —7=
426. Deuxième conséquence. — Si, dans la formule (C), on met nx à la place de x, n étant un nombre réel quelconque, il vient
008/ix ± \/ — 1 sin/ix;
d'un autre côté,
=: (cosx ± — I sinx)*;
donc
(cosx ± ^ — I sinx)' = cosnx ± y/ — 1 sin/jx.
■\insi la formule (cosn ± sinnv^—i)"= cos m<n- sin ma/ — i , qui n'avait été démontrée (380) que dans le cas où m était un nombre entier et positif, est maintenant vériBée pour un exposant quelconque.
427. Troisième conséquence. — De la formule (C) on déduit encore, en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien ,
±x/— I = l. (cosx± y/ — isinx) ;
d’où, en séparant les deux formules contenues dans celle-ci, et retranchant la seconde do la première,
ou bien
ix^—i = /.
cos X -I- y/— I sin X cosx — sinx
2xy^=f.
I — V^^tangx
Or on a trouvé (226)
faisant dans cette formule y = ^ — i tangx, on obtient , > I tangx (. tang’x tana'x
s£bies cibcdlaibes.
donc
/ — /, lans’x tang‘x \ , —
ax v— I = a i tangx 1 1 1 • • j v— « ,
et, par conséquent,
X = tangx -
tang’x tang^x
Cette formule donne la valeur d'un arc en fonction de la tangente de cet arc. Donc, par la méthode inverse des séries (417), on pourrait développer réciproquement tangx en fonction de x; mais on parvient aussi à ce dernier développement par le moyen qui suit :
Soit
tangx = Ax Bx’-t- Cx*-t- Dx’-i-. . .
(en observant que la tangente, de même que le sinus, ne peut renfermer dans son développement aucune puissance do degré pair de l’arc, puisqu’elle doit changer le signe avec cet arc).
Pour déterminer A, B, C, . . . , on substitue dans la relation
tangxcosx - sinx,
à la place de sinx et de cosx, leurs développements trouvés au n° 421 , puis, à la place de tangx, la série ci-dessus; et il vient
(Ax-i-Bx^-i-Cx'-+-Dx’...)(i- — -h— ^
Effectuant la multiplication indiquée, et égalant les coefficients des mêmes puissances de x, on trouve successivement
et ainsi de suite.
428. Les analystes ont fait servir la formule (D) du numéro précédent
