CHAPITRE X

à la détermination du rapport approché de la circonférence au diamètre. Pour que celle formule puisse être utile, il faut que l’arc dont on cherche la valeur soit tout au plus égal à 5o degrés, puisque l’on a tang5o'= i . Cela posé, soit 5o*= m n, et prenons pour m l’arc dont la tangente

est égale à 71 auquel cas on a, d’après la formule (D),

série très-convergente et dont la loi est manifeste. D’ailleurs l’équation 5o*= m -4- n donne

d’où

tangn =

langSo*— tangm ' 4 3

n- iangm langSo* ~ I ~ 5'

donc, en appliquant encore la formule (D),

ainsi (//i -4- /i), ou l’arc do 5o degrés, est représenté par la somme des deux séries

La seconde de ces deux séries n’est pas très-convergente, et il faudrait un assez grand nombre de termes pour obtenir un degré d’approximation sulCsant.

439. Mais on peut parvenir à deux autres séries beaucoup plus con vergentes.

Soit V l’arc dont la tangente est égale ù il en résulte

5~3.5’'*‘5TV~7.5’'^ Or on a, d’après les formules trigonométriques.

tangae

a lange 5 , 2 tanga e 1

/ .■ = — ) tang4e = -^^-7 — = 1-4

I — lang'e la i — lang’ae iig

Comme celte dernière tangente diffère très-peu de l'unité, on peut déjà conclure que l’arc 4 e diffère peu de 5o degrés, cl qu’ainsi la tangente de 4e — 5o» doit être une fraction très-petite.

COKCLUSION GÊNÉBALE. 607

Cela posé, soit z=. — 5o®, d’où tangz = tang(4*'— - 5o®); il vient

tane 4 * *

tangz = — -r = “ô“î

n-tang4»' 239

donc

d’ailleurs l’équation z = — 5o® donne

Mettant dans cette expression, à la place de i> et de z, leurs valeurs, on obtient

d’où l’on conclut enfin, pour le rapport de la circonférence au diamètre, ou pour le rapport de la demi-circonférence au rayon,

Il est facile do s’assurer que les quatre premiers termes de la première série et les deux premiers termes de la seconde donnent la valeur de tt à moins de 0,00001 près.

430. Conclusion générale. — En réfléchissant à tout ce qui vient d’être dit sur les séries circulaires ou trigonométriques, on voit le parti que l’on peut tirer de l’emploi des symboles imaginaires pour résoudre des questions d’une très-grande utilité. Comme, pour parvenir à ce but, on étend à des expressions imaginaires des formules qui d’abord n’avaient été reconnues vraies que pour des quantités réelles, on pourrait être tenté de révoquer en doute l’exactitude des résultats auxquels on est conduit ; cependant si, après certaines transformations, on parvient à des expressions débarrassées d’imaginaires, qui s’accordent avec celles que fournirait un raisonnement rigoureux et direct, on est forcé d’admettre la légitimité des moyens employés.

C’est ainsi que les analystes ont fait les découvertes les plus importantes, auxquelles on ne parviendrait que très-difficilement par des moyens en apparence plus satisfaisants.

CHIPITBE X. — COKCLCSlOn GtXfiBALE.

La métbode suivie pour obtenir les expressions de sinar et cosx offre encore l’exemple d’un raisonnement qui conduit promptement au but, quoique laissant d’abord un peu de vague dans l’esprit.

Pour parvenir à ces expressions, on suppose que, l’arc a devenant nul ,

le rapport se réduit à i. Au premier abord, on a de la peine à

concevoir que, l’arc étant nul, il puisse exister un rapport entre l’arc et sa tangente, et que ce rapport soit égal à i ; mais si, au lieu de supposer l’arc tout h fait nul, on suppose qu’il ne diffère de zéro que d’une quantité extrêmement petite, le rapport entre la tangente et l’arc est alors calculable et diffère très-peu de l’unité; et plus l’arc est petit, moins le rap|)orl diffère de l’unité. D’où l’on peut conclure qu’à la limite de décroissement

de l’arc, c’est-à-dire quand a devient ««/, on a = i . L'exactitude

des formules auxquelles on parvient ainsi, exactitude qui se trouve vérifiée par les applications que l’on en fait à la détermination des sinus et des cosinus de certains arcs, confirme aussi l’exactitude des principes qui y ont conduit.

La considération des rapports des grandeurs variables, dans les limites de leurs accroissements ou de leurs décroissements, est l’objet de l’^nafyse infinitésinmlc , nouvelle branche de Mathématiques à laquelle la théorie des séries peut être regardée comme une espèce d’introduction.