K0TI0N8 SUR LBS NOMBRES INCOMMENSURABLES

AOTES DE M. PROÜHET.

NOTE I

NOTIONS SLR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES. (Page 117.)

Lorsque les grandeurs d'un certain ordre sont rapportées à l’iino d’elles prise comme unité, on peut les partager en deux classes, suivant qu’elles ont ou qu’elles n’ont pas de comnume mesure avec cette unité.

Les grandeurs do la première classe, que l’on nomme pour cette raison eommensurables^ sont formées par U réunion successive do plusieurs unités ou de plusieurs parties aliquotes de runité. Elles sont alors exprimables par un nombre entier ou fractionnaire qui en donne l’idée la plus nette et permet au besoin de les reproduire.

Les grandeurs incommensurables avec leur unité no sont pas susceptibles d’une génération ni d’une expression aussi simples. 11 faut rccouiir, pour les déduire de leur unité, à des opci'Ations d'un ordre plus élevé.

Considérons, par exemple, On sait qu’il n’existo aucun uombie dont le carré soit égal h 2, mais qu’on peut trouver une série de nombrc.s croissants dont le carré soit inférieur à 2, et une autre série de nombril dcoroissants dont le carré soit supérieur à 2. Imaginons donc que l’on ait porté sur une ligne droite, à partir d’un certain point O, des longueurs coniinerisurabîes OA, OA', O.A*,. représentées par les nombres de la première série, et des longueurs OR, OR', OR",..., représentées par les nombres do la seconde série; comme les distances R.\, R' A',... vont en décroissant et peuvent devenir moindres que toute distance donnée^ on conçoit qu’il existera entre la série des points A et celle des points B un 'point de démarcation M. La distance CM, limite commune des longueurs OA, OA', OA*,... et des longueurs OR, OR',

OB",... sera représentée par

Ainsi l'expression ^3 représentera une grandeur aussi bien que 5, C, :

c’est pourquoi nous dirons que ^ est un nombre, et nous le nommerons Incommensurable, quoique cette qualification appartienne plutôt a la grandeur représentée.

De mémo J/5, y^ii, ^8 — représenteront dos grandeurs incommen-

surables avec l’unité. On conçoit qu’il existera une grande variété de nombres incommensurables. Les plus simples sont les radicaux et leurs diverses combinaisons. La suite de l’Algèbre nous conduira à d'autres classes de nombres incommensurables.

Jtg. B.