DES FONCTIONS DÉRIVÉES

et, par suite,

La comparaison de ccs deux résultats donne ce théorème important

NOTE V

DES FONCTIONS DtBIVfiES.

(Page 341.)

Notions préliminaires.

1. l'ne quantité variable^ est dite fonction d’une autre quantité xariable x\ toutes les fois que chaque valeur de y dépend, d*apri>s une loi quelconque, de la valeur attribuée à x. Ainsi, dans les exemples suivants :

.r est une fonction do x.

2. Une fonction est explicite lorsqu’on indique les opérations qu’il faut effectuer sur la variable dont elle dépend, comme cela a lieu dans les exemples qui précèdent. La fonction est implicite lorsqu’elle est liée a sa variable par une équation non résolue, ou même par quelque condition qui n’est pas encore exprimée par une équation. Ainsi, xet^ étant liés l’un à l’autre par l’équation

3^’ — ;îxr-h5j**=

J" sera une fonction implicite do x. On la rendrait explicite en résolvant cette équatfoD par rapport à^'.

3. Une fonction explicite ou implicite d’une seule variable x s'indique par une des lettres f ç>, ÿ*, F,. . suivie de la lettre x que l’on place entre parenthèses, comme /*(x), F(x), p(x),.... Ixs lettres yi F,..., que nous nommerons des caractéristiques, dési[;ncnt donc un certain ensemble d’ojféralions à effectuer sur la variable x. Des fonctions do formes différentes s’exprimeront à l’aide de caractéristiques différentes.

NOTE V

Ces noUtions sont trùsK:ommodt'« pour indi<iucr le résultat de U substitution d*un nombrt' à ta place de x. Il surtirn de mettre à la place de x daDs/(x) le nombre particulier que Ton a en vue. Par eiemple, si l'on pose

on aura

4. Si l'on = /(^)* on peut considérer x comme fonction de^ et poser

^ = 9Lr)-

les deux fonctions /et p sont dites in^enes. Dans le premier cas, x est appelé la variable indépendaute et^ la variable fonction. C’est le contraire dans le second cas.

5. Une fonction est entirre, fractionnaire^ irrationnelle ^ suivant la nature des opérations qu’elle comporte.

Elle sera algébrùfue si clic n’exige pas d’autres opérations que l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’élévation à de certaines puissances ou l'extraction de certaines racines; ou bien encore, lorsqu’elle sera donnée par une équation algébrique non résolue.

La fonction sera tramcemlante si elle renferme des logarithmes, des sinus, «te., on un mot, si elle dépend d’opérations que l’on ne puisse ramener à des opérations algébriques.

G. Une variable est à\iCf fonction de plusieurs autres variables lorsque sa valeur dépend de celles que l’on attribue à ces dernières. Par exemple, si l’on a

s = 3x*-*-ax;'*+-â,

2 sera dit une fonction de x et de^, ce qu'on est convenu d'exprimer de la manière suivante :

Les fonctions de plusieurs variables se distinguent comme les fonctions d’une seule variable en explicites et implicites^ algébni/ues et transcendantes^ etc.

7. Lorsque^' est une fonction d'une variable tandis que celle-ci est fouclion d’une variable x, on dit que y est une fonction de fonction dex.

En posant

la dépendance qui existe entre et x pourra s’exprimer par la notation

On peut supposer do môme que r dépende de *r par l'intermédiaire de pluaieur. ronctions, comme si, par exemple, on axait

OU

DIS FONCTIONS DÉIIVfiES.

8. t'iie fonction est dite composée lorsque sa valeur dépend de celles de plusieurs variables qui sont elles-iuèniGS des fonctions d’une ou de plusieurs variables : comme si Ton avait

La liaison qui existe entre z et les variables indépendantes x et^ peut s'ex* primer, dans cet exemple, k l'aide de la notation

U. L'Algèbre n’est, à proprement parler, que l’étude des fonctions. Dans l’Algèbre élémentaire, on s’occupe principalement des fonctions explicites, en faisant abstraction des valeurs particulières des nombres sur lesquels les opérations doivent s'exécuter. Dans l’Algèbre supérieure, généralisant de plus en plus, on étudie les propriétés des fonctions indépendamment de leur forme^ c’est-ii-diro indépendamment de la nature et du nombre des opérations qu’elles comprennent. C’est ce que la suite de celte Note achèvera de mettre en évidence.

Développement d’une fonction entière f(x) suivant les puissances croissantes de h quand on remplace x par x -h A.

lü. Soit

/(x) = Ax’"-+- A, x"-‘-+- A, x"'*-h. . .H- A„,, x -+- A,

une fonction entière de x, et proposons-nous de trouver ce qu’elle devient lorsqu’on remplace x par x -f- h.

On aura d'abord, d’après les nutations adoptées,

et il est clair que le développement sera du m**"* degré par rapport à A. On

pourra donc poser

P, P,, P|, ..., P„, étant des fonctions de x, dont il reste à déterminer la forme. On trouve, en prenant dans le développement, les termes indépendants do A

c’est-à-dire

ce qui doit être, puisque y‘(x4-A) doit évidemment so réduire à /*(x) lorsque A = O.

En groupant les termes qui contiennent A* en facteur, on obtient

Pj = m Ax"“‘-+- (m — i)A, — 2)A,x”“*-f-. .

polynôme dont chaque terme se déduit du terme correspondant do /(x) en multipliant ce terme par l’exposant de x, et diminuant cet exposant d’une unité. Nous conviendrons d’ap|>eler dérivée d’une fonction /(x) et de désigner

Digitizt::' by GoOglc

KOTB V

par/'(x) tout polynôme qui 9C. déduira de /(«r)» d'après 1a loi dont nous venoDS de parler. Mous poserons donc

On trouve ensuite

Or, si Ton compan* le numéroteur de celle expression h /'(x), on voit qu'il se déduit de /"'(x) d’après la même loi que/’'(x) se déduit dc/‘(x). Ce numérateur sera donc la dérivée de /'(x) ou la dérivée de la dérivée de /(x). Mous rappellerons dérivée seconde de et noua le désignerons par/'(x);

en sorte qu'on aura

On verra de même que, si l'on désigne par/*'(x) la dérivée première dc/*(x) ou la dérivée troisième de y*(x), par la dérivée quatrième, et ainsi de suite, on aura

Le dévelop|>emcot demandé sera donc

A. + /O =/W 4- /. H- aÆU /.• . .

Or» remarquera que la dérivée première est du degré m — i par rapport à x ; ia dérivée seconde du degré m — 2,. ... En sorte que la dérivée sera du degré m — m ou zéro, et se réduira à la constante m(m — 1). . .3.2. lA.

11. Comme /(xH- A)esl symétrique par rapport à x et à A, c’csl>à'dire ne change pas lorsque l’on change x en A et A en x, on aura également

/(XH- A) =/(A)4-x/'().) 4- -h. .

si l’on suppose A = 0, celte formule devient

en sorte qu’on pourra écrire une fonction lorsque l’on connaîtra les valeurs de cette fonction et de ses dérivées pour x = o.

12. Si l'on voulait développer une fouction entière suivant les puissances du binôme x~ a, ou y parviendrait très-siraplcmcnt de la manière suivante. Oii a Identiquement

Digii'zed : ■ Giiuglt

DES PONCTIONS DÊfilTÉES.

Donc, en considérant x — a comme un seul terme,

La dérivée d'une fonction quelconque est la limite "vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable lorsque celui-ci tend vers zéro,