De la formule

on tire

On voit donc que le rapport de raccroissement de la fonction à l'accroissement h de sa variable se compose de la dérivée f'{x), et de termes contenant tous h en facteur, termes qui disparaîtraient si l’on supposait h égal à zéro. f'{x) est donc la limite vers laquelle tend le rapport de raccroUsement do la fonction à l'accroissement de la variable quand celui-ci (end vers zéro.

Cette propriété dont jouit la dérivée d’uiic fonction entière sera prise desor* mais par nous comme défînition de la dérivée d’une fonction quelle qu'elle soit. Ainsi, f{x) désignant une fonction quelconque, nous poserons

pour A = o.

14. Nous continuerons à représenter la derivéo d'une fonction f{x) par /'(j"). Ix>rsquc la fonction sera désignée par une seule lettre, la dérivée s’indiquera par la même lettre airectce d’un accent. Enfin quelquefois nous nous servirons de la lettre d suivie de la fonction. D’après cela on aura

dérivée de f{x) ~ /'(x) = dérivée do y ssz dj.

Le lecteur devra bien se pénétrer du sens de ces notations, dont chacune présente quelque avantage spécial, et entre lesquelles on choisira suivant la nature de la question.

15. Lorsqu’une fonction renferme plusieurs variables, nous appellerons dérivée partielle^ par rapport à une de ces variables, la dérivée qu’on obtient en considérant toutes les autres variables comme constantes. Si l’on a

les dérivées partielles de z s’exprimeront par

IC. Læb dérivées successives d’une fonction d’une seule variable se désigne-

ront par

IfOTI T,

dr, d'r, </*r,

Pour les fonctions de plusieurs Tsriablos,

ou

représenteront les dëriTées de x ou de prises deux fois de suite par rap-

port à Xf ou d'abord par rapport à et ensuite par rapport à On eipriniera d'une manière analogue une plus longue suite de dérivations.

Enfin nous nous servirons fréquemment do la caractéristique A placée devant une variable pour indiquer un accroissement indéterminé attribué à celte variable.