Soient

Dérivée d'une/anction de fonction.

et proposons-nous d'obtenir la dérivée de x rapport à x.

Soient Ax et Au les accroissements des fonctions^ et u correspondant à uu accroissement arbitraire Ax attribué à la variable indépendante.

Le problème revient à trouver la limite vers laquelle tend le rapport-^ quand

Ax tend vers zéro. Or on a identiquement

Donc

A,r A^ Ar

Ax Au Au’

Ax

Au Ax

Mais les accroissements 4^', Au, Ax étant nuis en même temps, on aura lim— — =:^', lim— =/'(«), liin“=p'(x).

Donc

Ainsi Von obtient la dérivée d’une fonction de fonction en prenant la dérivée de chaque fonction par rapport à la ifariable dont cette fonction dè^yend immédiatement^ et en multipliant res dénWes entre elles.

On trouverait uno rt^gle analogue pour des cas plus compliqués. Par exemjde, si l'on avait

on aurait

18. L'utilité de la règle que nous venons d'établir tient surtout à ce qu'elle permet d'éviter de longues substitutions. Par exemple, si l’on avait à prendre

DES POnCTIOMS DÉRIVÉES

la dérivée de la fonction

qui revient à en posant on trouverait

O £<'"-4- M = ax*-t-

On serait arrivé à un résultat bien plus complique si l'on avait développé les calculs indiqués dans la valeur dc^.

Régies pour trouver la dérivée d'une somme^ d'un produiCg d'une puissance, d’un quotient de plusieurs fonctions dont les dérivées sont connues,

19. Dérivée d'une somme. — Soit ^ = a 4- *» -+- z une somme algébrique de plusieurs fonctions de la mémo variable; nommons Au, Av, As les accroissements simultanés de ces fonctions, c'est-à-dire ccux'qui répondent à un même accroissement Ax de la variable indépendante. On aura

Ay s= Au 4- Av -h As,

d'où

Ar Au ^ A'

Ax Ax Ax Ax*

et, si Ton fait tendre Ax vers zéro, on aura, à la limite, y^= f/4- *é~i- z'.

Ainsi la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions.