Passons à la multiplication des polyndmes

Soient d'abord deux polynômes a-^-b-k-co\,d-^-f, composés de termes tous additifs ; on peut présenter le produit sous la forme (a-^-b-i-c){d -(-/). Mais on a souvent besoin de former un seul polynôme de ce produit indiqué ; et c'esi en cela surtout que consiste la multiplication de dctuc polynômes.

Or il est évident que multiplier la somme u-t-b-}-c par rf -+-/ revient à prendre a-t-b-t-c autant de fois qu'il y a ‘d'unités dans d, plus autant de fois qu'il y a d’unités dans /, et à ajouter les deux produits. Mais multiplier a-\-b-i-c par d, c’est prendre d fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels, ce qui donne ad-t-'bd-\- cd. De mémo, multiplier n -i- i -+- c par /, c’est prendre / fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels. Donc enfin

[a -i- b -i- c)(d + f]=: ad -h bd -t- cd af bf cf.

Ainsi, ftour multiplier deux polynômes composés de termes tous adtlitijs, il faut multiplier séparément chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, et ajouter tous les produits.

Si les termes sont affectés de coefficients et d’exposants, on suit les règles prescrites (16) pour la multiplication des monômes. Par exemple, (3n’ -I- 40Ô-1- ô’){an-i- 5ô) donne pour produit

6<P -H 8 «’ 6 a 06’ -H i5«’i -t- aont’ -h SP,

ou, réduisant,

Go^-t- 23a^b -t- aani’-f- 5b’.

Pour nous rendre compte du cas le plus général, commen(;ons par remarquer que, si le multiplicande renferme des termes additifs et des termes soustractifs, ce facteur exprime une différence entre le nombre d'unités marqué par la somme des termes additifs et le nombre d’unités marqué par la somme des termes soustractifs. Même raisonnement par rapport au multiplicateur. D’où il suit que la multiplication de deux polynômes quelconques est ramenée ù la multiplication do deux binômes, tels que a — b, c — d (a désignant la somme des termes additifs, et — i la somme des termes soustractifs du multiplicande) ; il en est de même par rapport au multiplicateur r — d. Voyons donc comment on peut effectuer la multiplication exprimée par (n — ô)(e — rf).

Or multiplier a — ô par c — d revient évidemment à prendre a — b autant de fois qu’il y a d'unités dans c, moins autant de fois qu’il y a d’unités dans d, ou bien à multiplier n — b par r, et ù retrancher du produit celui àtsa — b parié. Mais multiplier a — b parc revient à multiplier c par a — b (en vertu du principe énoncé, 16); ce qui donne évidemment ca — cb,

CBiPlTHE PBEMIKR.

OU ac — bc. De même, le produit de n — b par tl est ad — bd\ et comme on vient de voir que ce dernier produit doit être retranché du précédent ne — il faut (14) clianger les signes de ad— bd, et l’écrire à la suite de ac — bc, ce qui donne enfin

(a — b)(c — d) = ac — br — ad -t- bd.

Pour peu qu'on réfléchisse sur la manière dont ce produit vient d'être formé, on verra que, rfnn.t toute multiplication, si l’on considère tous les termes additifs du multiplicateur, il faut multiplier chacun des termes du multiplicande, tant adriitifs que soustractifs, par ces termes, et affecter les produits partiels de signes semblables à ceux dont les termes du multiplicande sont affectés; et en comsidérant les termes soustractifs du multiplicateur, multiplier de même chacun des termes du multiplicande, tant additif s que soustractifs, par ces termes; mais affecter les proeluits partiels de signes contraires à ceux dont les termes du multiplicande sont affectés. Quant à la multiplication partielle d’un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur, on sidt les règles établies pour les monômes (IC ).

Soient, par exemple, les deux polynômes

4a’ — 5a’ô — 8aô’ ■+■ aô', et aa’ — iab — hb',

8a‘ — ioa‘ô — iCo’i’ -i- 4a’ i’

— iao*ô ■+■ i5a’6’-(- a4a’i’ — Gai*

— iGo’i’ -I- aoa’i’ -i- 3aai* — 8i‘

8a’— aaa'i — lyo’i’-t- 48a’ô’-t- aGai* — 8ô*.

Après avoir disposé les polynômes l’un au-dessous de l'autre, on multiplie chacun des termes du premier par le terme a a’ du second, ce qui donne

8a* — loa'b — i&eéb'-k- 4a’i’,

polynôme dont les signes sont les mêmes que ceux du multiplicande. Passant ensuite an terme 3ai du multiplicateur, comme ce terme est affecté du signe —, on multiplie chacun des termes du multiplicande par ce terme, en ayant soin d’affecter chaque produit d’un signe contraire à celui du terme correspondant du multiplicande, ce qui donne

— laa* i iSa’i’ -f- a4 a’ô’ — Goô',

produit que l’on écrit au-dessous du premier.

On fait la même opération par rapport au terme 4 é’, qui est aussi soustractif, ce qui donne

— i6a*ô’ -I- aoa’i’-4- 3aoô‘ — 8ô‘.

KBMAkQOBS SUB LA MULTIPLICATION. f)

On lait ensuite la réduction des termes semblables, et l'on obtient enfin pour l’expression la plus simple du produit,

8n' — •xia'b — 1717’ 6’ -H 48«^é’-t- a6«i‘ ■+■ S b'.

La règle des signes, qui est la plus importante à retenir dans la multiplication de deux polynômes, peut s’énoncer ainsi : Toutes les fois que les deux termes du multiplicande et du multiplicateur sont affectés du même signe, le produit correspondant est affecté du signe -h ; ei lorsque les deux termes sont affectés de signes contraires, le produit est affecté du signe — .

On dit encore, en langage algébrique, que -t- multiplié par -+-, ou — multiplié par —, donne -h, et que — multiplié par -h, ou -t- multiplié par —, donne — . Mais ce dernier énoncé, qui n'offre aucun sens raisonnable en lui-même (puisqu'on ne sait ce que signifie : multiplier entre eux des symboles, non des quantités, mais d'opérations arithmétiques), ce dernier énoncé, dis-je, doit être seulement regardé comme une abréviation du précédent.

Ce n'est pas la seule circonstance où les algébristes, pour abréger le discours, emploient des expressions incorrectes, mais qui ont l’avantage de mieux graver les règles dans la mémoire.

Nous proposerons pour exercices les exemples suivants ;

Premier exemple,

3 o’ — bbd c f — Sa’ ■+■ 4bd — 8cf

Produit — I Sa' ■+■ 3y a’ bd — -j.çta’rf — iob’d’-t- 44 bedf — 8c’ f’.

Deuxième exemple.

4«'A' — Sn’b’c ■+■ 8a’bc’ — Sa’c’ — qabc*

-A nb’ — 4 fbc — %bc’

/ 8a' té — \oa’ b'e i8(éb’e’ — Z^a’b’c’

Produit I — 4«VPc’ — i8n'b’c licébc' qa’b’c'

( -h tia’bc’ -I- liab’c’ — 3a’c’ — qabc^,

18. Nous ferons sur la multiplication algébrique plusieurs remarques fort importantes.

Premièrement. — Si les polynômes qu’on se propose de multiplier l’un par l’autre sont homogènes (11 ) (et la plupart des questions qu’on cherche à résoudre par le secours de l'.ôlgèbre, les questions de Géométrie principalement, conduisent à do semblables expressions), le produit de ces deux polynômes est aussi homogène; c’est une conséquence évidente des règles relatives aux lettres et aux exposants dans la multiplication des quantités Alg. R. 3